Question

【題目】已知橢圓C： + =1 （a＞b＞0 ） 經過點 P（1， ），離心率 e=
（Ⅰ）求橢圓C的標準方程．
（Ⅱ）設過點E（0，﹣2 ） 的直線l 與C相交于P，Q兩點，求△OPQ 面積的最大值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由點 在橢圓上得， ①

又e= = ②，c2=a2﹣b2③

由①②③得c2=3，a2=4，b2=1，

故橢圓C的標準方程為 ．

（Ⅱ）當直線l的斜率不存在，不合題意，可設直線l：y=kx﹣2，P（x1，y1），Q（x2，y2），

將y=kx﹣2代入橢圓方程x2+4y2=4，可得（1+4k2）x2﹣16kx+12=0，

由△=162k2﹣48（1+4k2）＞0，解得k＞ 或k＜﹣ ．

x1+x2= ，x1x2= ，

|PQ|= |x1﹣x2|= =4 ，

又O到直線PQ的距離d= ，

則S△OPQ= d|PQ|=4 ，

設t= ，（t＞0），則4k2=3+t2，

即有S△OPQ= =

由t+ ≥2 =4，

當且僅當t=2，即k=±

則S△OPQ≤1．

故△OPQ 面積的最大值為1

【解析】1、由已知可得把點P的坐標代入橢圓的方程，再根據已知的離心率以及橢圓里聯立關于a、b、c的方程即可。
2、由直線的點斜式和橢圓的方程聯立消y可得關于斜率k的方程，直線和橢圓有兩個交點即得△＞0即得k＞ 或k＜﹣ ．再由根與系數的關系得到x1+x2= ，x1x2=,利用弦長公式求出|PQ|，點到直線的距離求出d即得S△OPQ= d|PQ|整理這個式子設t= ，（t＞0）轉化成基本不等式的形式求出最小值當且僅當t=2，即k=± 時等號成立，滿足判別式大于0即S△OPQ≤1故△OPQ 面積的最大值為1。