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          【題目】已知橢圓C: + =1 (a>b>0 ) 經過點 P(1, ),離心率 e=
          (Ⅰ)求橢圓C的標準方程.
          (Ⅱ)設過點E(0,﹣2 ) 的直線l 與C相交于P,Q兩點,求△OPQ 面積的最大值.

          【答案】解:(Ⅰ)由點 在橢圓上得,

          又e= = ②,c2=a2﹣b2

          由①②③得c2=3,a2=4,b2=1,

          故橢圓C的標準方程為

          (Ⅱ)當直線l的斜率不存在,不合題意,可設直線l:y=kx﹣2,P(x1,y1),Q(x2,y2),

          將y=kx﹣2代入橢圓方程x2+4y2=4,可得(1+4k2)x2﹣16kx+12=0,

          由△=162k2﹣48(1+4k2)>0,解得k> 或k<﹣

          x1+x2= ,x1x2= ,

          |PQ|= |x1﹣x2|= =4 ,

          又O到直線PQ的距離d= ,

          則SOPQ= d|PQ|=4 ,

          設t= ,(t>0),則4k2=3+t2,

          即有SOPQ= =

          由t+ ≥2 =4,

          當且僅當t=2,即k=±

          則SOPQ≤1.

          故△OPQ 面積的最大值為1


          【解析】1、由已知可得把點P的坐標代入橢圓的方程,再根據已知的離心率以及橢圓里聯立關于a、b、c的方程即可。
          2、由直線的點斜式和橢圓的方程聯立消y可得關于斜率k的方程,直線和橢圓有兩個交點即得△>0即得k> 或k<﹣ .再由根與系數的關系得到x1+x2= ,x1x2=,利用弦長公式求出|PQ|,點到直線的距離求出d即得SOPQ= d|PQ|整理這個式子設t= ,(t>0)轉化成基本不等式的形式求出最小值當且僅當t=2,即k=± 時等號成立,滿足判別式大于0即S△OPQ≤1故△OPQ 面積的最大值為1。

          練習冊系列答案
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