Question

已知函數，，其中e=2.71828…．
（1）若f（x）在其定義域內是單調函數，求實數p的取值范圍；
（2）若p∈（1，+∞），問是否存在x＞0，使f（x）≤g（x）成立？若存在，求出符合條件的一個x；否則，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）對函數f（x）進行求導，令導數大于等于0在x＞0上恒成立即可．
（2）對于存在性問題，可先假設存在，即假設存在x＞0，使f（x）≤g（x）成立，問題等價于：找一個x＞0使F（x）≤0成立，故只需滿足函數的最小值F（x）_min≤0即可．，再利用導數工具，求出F（x）_min，若出現矛盾，則說明假設不成立，即不存在；否則存在．
解答：解：由，得
（1）由題意得：f'（x）≥0在（0，+∞）恒成立或f'（x）≤0在（0，+∞）恒成立
若f'（x）≤0恒成立，則px²-x+p≤0恒成立∴
又∴p≤0滿足題意
若f'（x）≥0恒成立，則px²-x+p≥0恒成立∴
綜合上述，p的取值范圍是．                   …（6分）
（2）令．則問題等價于：找一個x＞0使F（x）≤0成立，故只需滿足函數的最小值F（x）_min≤0即可．
因，
而，
故當時，F'（x）＜0，F（x）遞減；當時，F'（x）＞0，F（x）遞增．
于是，．
與上述要求F（x）_min≤0相矛盾，故不存在符合條件的x．         …（12分）
點評：本題主要考查函數單調性與其導函數正負之間的關系，即當導函數大于0時原函數單調遞增，當導函數小于0時原函數單調遞減．