Question

如圖，公園有一塊邊長(zhǎng)為2的等邊△ABC的邊角地，現(xiàn)修成草坪， 圖中DE把草坪分成面積相等的兩部分，D在AB上，E在AC上．

（1）設(shè)（x≥0），，求用表示的函數(shù)關(guān)系式,并求函數(shù)的定義域；
（2）．如果是灌溉水管，為節(jié)約成本，希望它最短，的位置應(yīng)在哪里？如果是參觀線路，則希望它最長(zhǎng)，的位置又應(yīng)在哪里？請(qǐng)予證明．

Answer 1

（1）
（2） 如果是水管,當(dāng)時(shí), 最短．
如果是參觀線路,則為中線或中線時(shí)，最長(zhǎng)．

解析試題分析：（1）顯然變量都在中,尋找兩邊的關(guān)系,利用余弦定理即可．但是發(fā)現(xiàn)還有邊存在,所以得尋找．根據(jù)面積相等,利用面積公式即可得到與的關(guān)系．消掉即可得到解析式．但是要考慮實(shí)際意義,即函數(shù)的定義域．在上,可知自變量的范圍是．
（2） 如果是水管,根據(jù)（1）中的解析式,觀察形式,可知利用均值不等式即可求得最小值．
如果是參觀線路,則要求其盡可能的長(zhǎng),所以分析函數(shù)的單調(diào)性求最大值即可．
（1）中，根據(jù)余弦定理有
即; ①
又,即．②
②代入①得, ∴
由題意知點(diǎn)至少是的中點(diǎn)，才能把草坪分成面積相等的兩部分。
所以，又在上，，所以函數(shù)的定義域是，
．
（2）如果是水管,
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)“＝”成立，故∥，且．
如果是參觀線路，記，可知
函數(shù)在上遞減，在上遞增，
故 所以．
即為中線或中線時(shí)，最長(zhǎng)。
考點(diǎn)：實(shí)際應(yīng)用題;余弦定理;利用均值不等式求函數(shù)的最小值;利用函數(shù)的單調(diào)性得函數(shù)的最大值．