Question

【題目】已知函數(shù).

（1）當時，求曲線在處的切線方程；

（2）設(shè)函數(shù)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（3）若，在上存在一點，使得成立，

求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）詳見解析；（3）或.

【解析】試題分析：（1）中求的是在x=1的切線方程，所以直接出函數(shù)在x=1的導(dǎo)數(shù)，和切點即可解決。（2）求單調(diào)性區(qū)間，先注意定義域，再求導(dǎo)數(shù)等于0的根，一般對于含參的問題，我們先看是否能因式分解。（3）存在成立，先變形為，從而構(gòu)造函數(shù)在上的最小值.同時注意第（2）問己求對本問的應(yīng)用。

試題解析：

（1）當時， ，切點，

所以，所以，

所以曲線在點處的切線方程為： ，即.

（2），定義域為，

，

①當，即時，令，因為，所以.

令，因為，所以.

②當，即，令恒成立，

綜上，當時， 唉上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

當時， 在上單調(diào)遞增.

（3）由題意可知，在上存在一點，使得成立，

即在上存在一點，使得，

即函數(shù)在上的最小值.

由第（2）問，

①當，即時， 在上單調(diào)遞減，

所以，所以，因為，所以；

②當，即時， 在上單調(diào)遞增，

所以，所以；

③當，即時， ，

因為，所以，所以，

此時不存在使得成立.