【題目】已知橢圓
的右焦點為
，
是橢圓
上一點，
軸，
.
（1）求橢圓的標準方程；
（2）若直線
與橢圓交于
、
兩點，線段
的中點為
，
為坐標原點，且
，求
面積的最大值.
【答案】（1）
；（2）
.
【解析】
（1）設(shè)橢圓
的焦距為
，可得出點
在橢圓上，將這個點的坐標代入橢圓的方程可得出
，結(jié)合
可求出
的值，從而可得出橢圓的標準方程；
（2）分直線
的斜率不存在與存在兩種情況討論，在
軸時，可得出
，從而求出
的面積；在直線斜率存在時，設(shè)直線的方程為
，設(shè)點
、
，將直線的方程與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達定理結(jié)合
，得出
，計算出
與的高，可得出面積的表達式，然后可利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)求出面積的最大值.
（1）設(shè)橢圓的焦距為，由題知，點
，
，
則有
，
，又
，
，
，
因此，橢圓的標準方程為；
（2）當軸時，
位于
軸上，且
，
由可得，此時
；
當不垂直軸時，設(shè)直線的方程為，與橢圓交于，，
由
，得
.
，
，從而
已知，可得.
.
設(shè)
到直線的距離為
，則
，
.
將代入化簡得
.
令
，
則
.
當且僅當
時取等號，此時的面積最大，最大值為.
綜上：的面積最大，最大值為.
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【題目】已知橢圓
的焦點與雙曲線
的焦點重合，并且經(jīng)過點
.
（Ⅰ）求橢圓C的標準方程；
（II） 設(shè)橢圓C短軸的上頂點為P，直線
不經(jīng)過P點且與
相交于
、
兩點，若直線PA與直線PB的斜率的和為
，判斷直線是否過定點，若是，求出這個定點，否則說明理由.
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【題目】已知橢圓
的中心在原點，焦點在
軸，離心率為
，短軸長為2.
（1）求橢圓的標準方程；
（2）設(shè)
，過橢圓左焦點
的直線
交于
，
兩點，若對滿足條件的任意直線，不等式
恒成立，求
的最小值.
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【題目】設(shè)
，
是兩條不同的直線，
，
，
是三個不同的平面，給出下列四個命題：
①若
，
，則
②若
，
，，則
③若
，，則
④若
，
，則
其中正確命題的序號是（ ）
A.①和②B.②和③C.③和④D.①和④
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【題目】（1）閱讀以下案例，利用此案例的想法化簡
．
案例：考察恒等式
左右兩邊
的系數(shù)．
因為右邊
，
所以，右邊的系數(shù)為
，
而左邊的系數(shù)為
，
所以＝．
（2）求證：
．
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【題目】已知函數(shù)
.
（1）若曲線
在
處的切線的斜率為3，求實數(shù)
的值；
（2）若函數(shù)在區(qū)間
上存在極小值，求實數(shù)的取值范圍；
（3）如果
的解集中只有一個整數(shù)，求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】過去大多數(shù)人采用儲蓄的方式將錢儲蓄起來，以保證自己生活的穩(wěn)定，考慮到通貨膨脹的壓力，如果我們把所有的錢都用來儲蓄，這并不是一種很好的方式，隨著金融業(yè)的發(fā)展，普通人能夠使用的投資理財工具也多了起來，為了研究某種理財工具的使用情況，現(xiàn)對
年齡段的人員進行了調(diào)查研究，將各年齡段人數(shù)分成
組：
，并整理得到頻率分布直方圖：
（1）求圖中的
值；
（2）采用分層抽樣的方法，從第二組、第三組、第四組中共抽取
人，則三個組中各抽取多少人？
（3）在（2）中抽取的人中，隨機抽取
人，則這人都來自于第三組的概率是多少？
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【題目】已知橢圓
的長軸長是短軸長的2倍，且過點
．
⑴求橢圓
的方程；
⑵若在橢圓上有相異的兩點
（
三點不共線），
為坐標原點，且直線
，直線
，直線
的斜率滿足
.
（ⅰ）求證： 
是定值；
（ⅱ）設(shè)
的面積為
，當
取得最大值時，求直線
的方程．
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