Question

已知圓，直線．

（Ⅰ）若與相切，求的值；

（Ⅱ）是否存在值，使得與相交于兩點(diǎn)，且（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)），若存在，求出，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）（Ⅱ）m=9±2

【解析】

試題分析：(Ⅰ)由圓方程配方得(x+1)²+(y－3)²=9，

圓心為C(－1，3)，半徑為 r = 3，         2分

若 l與C相切，則得=3，

∴(3m－4)²=9(1+m²)，∴m =．    5分

(Ⅱ)假設(shè)存在m滿足題意。

由，消去x得

(m²+1)y²－(8m+6)y+16=0，

由△=(8m+6)²－4(m²+1)·16>0，得m>，   8分

設(shè)A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，則y₁+y₂=，y₁y₂=．

OA·OB=x₁x₂+y₁y₂

=(3－my₁)(3－my₂)+y₁y₂

=9－3m(y₁+y₂)+(m²+1)y₁y₂

=9－3m·+(m²+1)·

=25－=0         10分

24m²+18m=25m²+25，m²－18m+25=0，

∴m=9±2，適合m>，

∴存在m=9±2符合要求．

考點(diǎn)：直線與圓相切相交的位置關(guān)系

點(diǎn)評(píng)：直線與圓相切，一般用圓心到直線的距離等于圓的半徑，本題直線與圓相交聯(lián)立方程利用韋達(dá)定理可得到焦點(diǎn)坐標(biāo)與方程的關(guān)系，進(jìn)而可將向量坐標(biāo)化化簡(jiǎn)