Question

【題目】某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費(fèi)，需了解年宣傳費(fèi)對(duì)年銷售量（單位：）的影響.該公司對(duì)近5年的年宣傳費(fèi)和年銷售量數(shù)據(jù)進(jìn)行了研究，發(fā)現(xiàn)年宣傳費(fèi)（萬元）和年銷售量（單位：）具有線性相關(guān)關(guān)系，并對(duì)數(shù)據(jù)作了初步處理，得到下面的一些統(tǒng)計(jì)量的值.

（萬元）	2	4	5	3	6
（單位：）	2.5	4	4.5	3	6

（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)建立年銷售量關(guān)于年宣傳費(fèi)的回歸方程；

（2）已知這種產(chǎn)品的年利潤與，的關(guān)系為，根據(jù)（1）中的結(jié)果回答下列問題：

①當(dāng)年宣傳費(fèi)為10萬元時(shí)，年銷售量及年利潤的預(yù)報(bào)值是多少？

②估算該公司應(yīng)該投入多少宣傳費(fèi)，才能使得年利潤與年宣傳費(fèi)的比值最大.

附：問歸方程中的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為，.

參考數(shù)據(jù)：，.

Answer 1

【答案】（1）；（2）①年銷售量為9.1，年利潤的預(yù)報(bào)值為2.25；②5萬元

【解析】

（1）利用回歸直線方程計(jì)算公式，計(jì)算出回歸直線方程.

（2）①先求得年利潤關(guān)于的表達(dá)式，然后將分別代入回歸直線方程和年利潤的函數(shù)表達(dá)式，由此求得年銷售量及年利潤的預(yù)報(bào)值

②求得年利潤與年宣傳費(fèi)的比值的表達(dá)式，利用基本不等式求得時(shí)，年利潤與年宣傳費(fèi)的比值最大.

（1）由題意，，

，

，

.

（2）①由（1）得，

當(dāng)時(shí)，，.

即當(dāng)年宣傳費(fèi)為10萬元時(shí)，年銷售量為9.1，年利潤的預(yù)報(bào)值為2.25.

②令年利潤與年宣傳費(fèi)的比值為，則，.

當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取最大值.故該公司應(yīng)該投入5萬元宣傳費(fèi)，才能使得年利潤與年宣傳費(fèi)的比值最大.