Question

已知雙曲線C：的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F₁（-2，0），F(xiàn)₂（2，0），焦點(diǎn)到漸近線的距離為．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）記O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M（0，2）的直線l交雙曲線C于E、F兩點(diǎn)，若△EOF的面積為，求直線l的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用點(diǎn)到直線的距離公式及a，b，c的關(guān)系即可得出；
（2）設(shè)直線l的方程為y=kx+2，E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂）．與雙曲線的方程聯(lián)立即可得到根與系數(shù)的關(guān)系，利用弦長(zhǎng)公式和三角形的面積公式即可得出．
解答：解：（1）∵焦點(diǎn)F₂（2，0）到漸近線的距離為，
∴，
∵c=2，∴b=，
∴a²=c²-b²=2，
∴雙曲線C的方程為；
（2）設(shè)直線l的方程為y=kx+2，E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂）．
聯(lián)立，化為（1-k²）x²-4kx-6=0，
由于k²≠1，∴，，
=|x₁-x₂|==，
∴，
化為k⁴-k²-2=0．
解之得k²=2，即，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意．
故所求直線方程為或y=-x+2．
點(diǎn)評(píng)：熟練掌握直線與雙曲線的相交問(wèn)題轉(zhuǎn)化為雙曲線的方程聯(lián)立即可得到根與系數(shù)的關(guān)系、利用弦長(zhǎng)公式和三角形的面積公式等是解題的關(guān)鍵．