Question

已知雙曲線C：的兩個(gè)焦點(diǎn)為M（-2，0），N（2，0），點(diǎn)P（3，）在曲線C上，
（Ⅰ）求雙曲線C的方程；
（Ⅱ）記O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)Q（0，2）的直線l與雙曲線C相交于不同的兩點(diǎn)E、F，若△OEF的面積為2，求直線l的方程。

Answer 1

解：(Ⅰ)依題意，由a²+b²=4，得雙曲線方程為（0＜a²＜4），
將點(diǎn)（3，）代入上式，
得，解得a²=18（舍去）或a²=2，
故所求雙曲線方程為。
(Ⅱ)依題意，可設(shè)直線l的方程為y=kx+2，
代入雙曲線C的方程并整理，得(1-k²)x²-4kx-6=0，
∵直線l與雙曲線C相交于不同的兩點(diǎn)E、F，
∴，
∴k∈，
設(shè)E(x₁，y₁)，F(xiàn)(x₂，y₂)，則由①式得x₁+x₂=，
于是|EF|=
=，
而原點(diǎn)O到直線l的距離d=，
∴S_ΔOEF=，
若S_ΔOEF=2，即，
解得k=±，滿(mǎn)足②，
故滿(mǎn)足條件的直線l有兩條，其方程分別為y=。