Question

【題目】無窮數(shù)列、、滿足：，，，，記（表示3個(gè)實(shí)數(shù)、、中的最大數(shù)）.

（1）若，，，求數(shù)列的前項(xiàng)和；

（2）若，，，當(dāng)時(shí)，求滿足條件的的取值范圍；

（3）證明：對于任意正整數(shù)、、，必存在正整數(shù)，使得，，.

Answer 1

【答案】（1），；（2）；（3）詳見解析.

【解析】

（1）計(jì)算數(shù)列的前幾項(xiàng),可得所求；

（2）計(jì)算第2、3項(xiàng)可得所求范圍；

（3）先證明若、、中至少有一個(gè)為0,則另兩個(gè)數(shù)相等,再證明若、、中都不為0,則

（1）由題可得,;

,,,;

,,,；

,,,；

可得,,,

當(dāng)時(shí),

當(dāng)時(shí),

（2）由題,,,,；

,,,

則若滿足條件,則

（3）證明：

①若、、中至少有一個(gè)為0,則另兩數(shù)相等,設(shè),假設(shè),可得,

則,與矛盾,即,則,,此時(shí)必存在正整數(shù),使得,,；

②若、、中都不為0,則,設(shè),則,,,

,此時(shí)一定嚴(yán)格遞減下去,直至存在正整數(shù),使得

此時(shí), 、、中有一個(gè)為0，由①可得命題成立.

則對于任意正整數(shù)、、，必存在正整數(shù)，使得，，.