Question

已知P是橢圓

x2

4

+

y2

3

=1上的一點(diǎn)，F(xiàn)₁、F₂是該橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，若△PF₁F₂的內(nèi)切圓的半徑為

1

2

，則tan∠F₁PF₂=（　　）

• A．

  3

  4

• B．

  4

  3

• C．

  4 7

  7

• D．

  3 7

  7

Answer 1

分析：作出圖形，利用內(nèi)切圓的性質(zhì)與橢圓的定義及半角公式即可求得tan∠F₁PF₂的值．

解答：解：根據(jù)題意作圖如下，設(shè)△PF₁F₂的內(nèi)切圓心為M，則內(nèi)切圓的半徑|MQ|=

1

2

，設(shè)圓M與x軸相切于R，

∵橢圓的方程為

x2

4

+

y2

3

=1，
∴橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），
∴|F₁F₂|=2，設(shè)|F₁R|=x，則|F₂R|=2-x，
依題意得，|F₁S|=|F₁R|=x，|F₂Q|=|F₂R|=2-x，
設(shè)|PS|=|PQ|=y，
∵|PF₁|=x+y，|PF₂|=（2-x）+y，|PF₁|+|PF₂|=4，
∴x+y+（2-x）+y=4，
∴y=1，即|PQ|=1，又|MQ|=

1

2

，MQ⊥PQ，
∴tan∠MPQ=

|MQ|

|PQ|

=

1 2

1

=

1

2

，
∴tan∠F₁PF₂=tan2∠MPQ=

2× 1 2

1-( 1 2 )2

=

4

3

．
故選B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查內(nèi)切圓的性質(zhì)及半角公式，考查分析問(wèn)題，通過(guò)轉(zhuǎn)化思想解決問(wèn)題的能力，屬于難題．