Question

【題目】已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，其焦點(diǎn)與雙曲線的焦點(diǎn)重合，且橢圓的短軸的兩個(gè)端點(diǎn)與其一個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成正三角形.

（1）求橢圓的方程；

（2）過(guò)雙曲線的右頂點(diǎn)作直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn).設(shè)，當(dāng)為定值時(shí)，求的值；

Answer 1

【答案】(1) ；(2).

【解析】

（1）設(shè)方程為，確定，利用橢圓的短軸的兩個(gè)端點(diǎn)與構(gòu)成正三角形，所以，進(jìn)而求得的值，即可得到答案.

（2）設(shè)的方程為代入橢圓的方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系，結(jié)合向量的數(shù)量積公式，化簡(jiǎn)，即可得到結(jié)論.

（1）由題意得橢圓的焦點(diǎn)在軸上，設(shè)方程為，

其左右焦點(diǎn)為，，所以，

又因?yàn)闄E圓的短軸的兩個(gè)端點(diǎn)與構(gòu)成正三角形，所以

又因?yàn)?/span>，所以.

所以橢圓的方程為.

（2）①雙曲線右頂點(diǎn)為.

當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)的方程為

由得

設(shè)直線與橢圓交點(diǎn)，，

則，，

則，，

所以

當(dāng)，即時(shí)為定值.

當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為

由得，不妨設(shè)，，由可得.

，，所以

綜上所述當(dāng)時(shí)為定值.