Question

已知△ABC的三個(gè)角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，已知△ABC周長為6，|

BC

|，|

CA

|，|

AB

|成等比數(shù)列．
求：
（1）∠B的取值范圍；
（2）邊b的取值范圍；
（3）

BA

•

BC

的最小值．

Answer 1

分析：（1）利用△ABC周長為6，|

BC

|，|

CA

|，|

AB

|成等比數(shù)列，結(jié)合余弦定理，可求∠B的取值范圍；
（2）利用基本不等式，確定b的范圍，再利用三角形的周長為6，|

BC

|，|

CA

|，|

AB

|成等比數(shù)列，可得不等式，從而確定b的取值范圍；
（3）利用向量的數(shù)量積公式，及三角形的周長，結(jié)合b的范圍，即可求得

BA

•

BC

的最小值．

解答：解：（1）設(shè)|

BC

|，|

CA

|，|

AB

|依次為a，b，c，則a+b+c=6，b²=ac，
由余弦定理得cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

a2+c2-ac

2ac

≥

2ac-ac

2ac

=

1

2

，故有0＜B≤

π

3

，
（2）b=

ac

≤

a+c

2

=

6-b

2

，從而0＜b≤2
∵△ABC三邊依次為a，b，c，∴（a-c）²＜b²，
∵a+b+c=6，b²=ac
∴b²＞（a+c）²-4ac，∴b²+3b-9＞0，∴b＞

-3+3 5

2

，∴

-3+3 5

2

＜b≤2
（3）

BA

•

BC

=accosB=

a2+c2-b2

2

=

(a+c)2-2ac-b2

2

=

(6-b)2-3b2

2

=-(b+3)2+27
∵

-3+3 5

2

＜b≤2，
∴b=2時(shí)，

BA

•

BC

的最小值為2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列知識(shí)，考查余弦定理的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．