Question

【題目】已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別是，，且，點(diǎn)在橢圓上，面積的最大值為.

（1）求橢圓的方程；

（2）過的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，求內(nèi)切圓半徑的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）;（2）

【解析】

（1）由題可得,且當(dāng)點(diǎn)在短軸端點(diǎn)時(shí),的面積最大,聯(lián)立可求得,即可求出橢圓方程;

（2）由內(nèi)切圓的性質(zhì)可得,設(shè)出直線方程與橢圓方程聯(lián)立,可得到的表達(dá)式,進(jìn)而得到內(nèi)切圓半徑的表達(dá)式,求出取值范圍即可.

（1）由題意,,即,

當(dāng)點(diǎn)在短軸端點(diǎn)時(shí),的面積最大,則,解得,

所以,,所以橢圓的方程為.

（2）由題可知,過的直線斜率不為0,設(shè)方程為,的內(nèi)切圓半徑為.

聯(lián)立,得,則,

所以,

所以.

而，

所以.

令，則，

構(gòu)造函數(shù),求導(dǎo),

當(dāng)時(shí),,即,

故函數(shù)在時(shí),單調(diào)遞增,即,

所以的取值范圍是.