Question

【題目】已知橢圓的離心率為，其左、右焦點(diǎn)為F1、F2，點(diǎn)P是坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，且其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)。

（I） 求橢圓C的方程；

（II） 如圖，過點(diǎn)S（0，}，且斜率為k的動直線l交橢圓于A、B兩點(diǎn)，在y軸上是否存在定點(diǎn)M，使以AB為直徑的圓恒過這個(gè)點(diǎn)？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）

（2）在y軸上存在定點(diǎn)M，使得以AB為直徑的圓恒過這個(gè)點(diǎn)，

點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，1）。

【解析】

（1）利用；（2）直線方程與橢圓方程，聯(lián)立方程組并借助于韋達(dá)定理，求點(diǎn)的坐標(biāo).

解:(1)設(shè)，,① ……1分

又,，即② ……2分

①代入②得：. 又故所求橢圓方程為……4分

(2)設(shè)直線，代入，有.

設(shè)，則. ……6分

若軸上存在定點(diǎn)滿足題設(shè)，則，，

……9分

由題意知，對任意實(shí)數(shù)都有恒成立， ……10分

即對成立.

解得， ……11分

在軸上存在定點(diǎn),使以為直徑的圓恒過這個(gè)定點(diǎn). ……12分