Question

設(shè)S_n是首項(xiàng)為4，公差d≠0的等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，若

1

3

S₃和

1

4

S₄的等比中項(xiàng)為

1

5

S₅．求：
（1）{a_n}的通項(xiàng)公式a_n；
（2）使S_n＞0的最大n值．

Answer 1

分析：（1）由題設(shè)知首項(xiàng)為4，且

1

3

S₃和

1

4

S₄的等比中項(xiàng)為

1

5

S₅由此建立方程即可求出公差d，從而求出其通項(xiàng)公式；
（2）由（1）的結(jié)論，利用數(shù)列的通項(xiàng)公式求出前n和的最大值是S₂，根據(jù)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的函數(shù)特性即可得出使S_n＞0的最大n值．

解答：解：（1）由條件得：

S3S4

12

=

S 2 5

25

，（4分）
∵S_n=a₁n+

1

2

n（n-1）d，
∴（12+5d）d=0，∵d≠0，得d=-

12

5

，
∴a_n=

-12n+32

5

．（5分）
（2）由a_n=

-12n+32

5

＞0，
得n＜

8

3

，∴n=2時(shí)，S_n取最大值，
∴使S_n＞0的最大n的值為4．（5分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查等數(shù)列與等比數(shù)列的綜合，考查由題設(shè)條件建立方程求公差，及根據(jù)通項(xiàng)公式求出數(shù)列的通項(xiàng)，由通項(xiàng)的求出數(shù)列前n項(xiàng)和的最大值以及由其函數(shù)特性判斷出使S_n＞0的最大n值，求解本題的關(guān)鍵是掌握了等差數(shù)列前n項(xiàng)和的函數(shù)特性-對(duì)稱性．