Question

【題目】凸多面體的每個(gè)面均為三角形，每條棱上均標(biāo)記字母之一，且每個(gè)面的三條邊上恰各有一個(gè)。對(duì)每一個(gè)面，當(dāng)旋轉(zhuǎn)多面體使該面在我們眼前時(shí)，按照字母順序觀察其三邊，若是逆時(shí)針方向，則稱其為正面；否則，稱其為反面。證明：正面與反面的數(shù)目之差能被4整除。

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

考慮標(biāo)記的棱，將其中點(diǎn)染紅，于是，得到若干個(gè)紅點(diǎn).任取一條含紅點(diǎn)的棱，有兩個(gè)面以其為一條邊（如圖），取一個(gè)面（右），該面另兩條邊有一條標(biāo)記.

考慮以棱為邊的另一個(gè)面，該面又一條棱含紅點(diǎn)，用虛線聯(lián)結(jié)這兩個(gè)紅點(diǎn)，再取另一面（左），也會(huì)有另一個(gè)紅點(diǎn)與點(diǎn)相連.于是，任一紅點(diǎn)均連出兩條線與別的紅點(diǎn)相連.從而，形成若干個(gè)以紅點(diǎn)為頂點(diǎn)的圈.

再考慮棱，也會(huì)得到若干以藍(lán)點(diǎn)（藍(lán)點(diǎn)為棱的中點(diǎn)）為頂點(diǎn)的圈.

由于紅圈、籃圈的邊均要穿過一條棱，將棱根據(jù)其被穿過的情形分為如圖所示的三種類型：

其中，圖（丙）的兩個(gè)紅點(diǎn)同上或同下，連線時(shí)讓它們不相交；而圖中（甲）、（乙）連線時(shí)相交，且其交點(diǎn)不是現(xiàn)有的紅點(diǎn)或藍(lán)點(diǎn).

設(shè)三種類型的數(shù)目分別為.則正面數(shù)目為，反面數(shù)目為，且為紅圈與籃圈的交點(diǎn)數(shù).

因?yàn)槿εc圈的交點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)，所以，.

故正面數(shù)與反面數(shù)之差能被4整除.