Question

【題目】如圖，已知在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為4的正方形，是正三角形，平面平面，分別是的中點(diǎn).

（1）求證：平面平面；

（2）若是線段上一點(diǎn)，求三棱錐的體積.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

試題分析：（1）要證明面面垂直，只需在一個(gè)平面內(nèi)找到另一平面的一條垂線.由已知平面平面，且，可證平面，再根據(jù)是中位線，可證，從而平面，進(jìn)而再證平面平面，該題實(shí)質(zhì)是先找到面的一條垂線，再將平移到面內(nèi)；

（2）點(diǎn)是線段的動(dòng)點(diǎn)，考慮到和到面的距離相等，故，再結(jié)合第（1）問結(jié)果，取的中點(diǎn)連接，據(jù)面面垂直的性質(zhì)，點(diǎn)到的距離就是三棱錐的高，再求，進(jìn)而求體積.

試題解析：（1）∵平面平面，平面平面，平面，，平面，又中，分別是的中點(diǎn)，，可得平面，平面，∴平面平面；

（2），平面，平面，平面，因此上的點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離，∴，取的中點(diǎn)連接，則，平面，平面，∴，于是，

∵平面平面，平面平面，是正三角形，∴點(diǎn)到平面的距離等于正的高，即為，因此，三棱錐M﹣EFG的體積==.