Question

過雙曲線E：

x2

a2

-

y2

b2

=1（b＞a＞0）的左頂點A作斜率為1的直線l，若l與雙曲線E的兩條漸近線相交于B，C兩點，且|AB|=|BC|，則雙曲線E的離心率為

10

．

Answer 1

分析：先根據(jù)條件求出直線l的方程，聯(lián)立直線方程與漸近線方程分別求出點B，C的橫坐標，結(jié)合B為AC的中點求出b，a間的關(guān)系，進而求出雙曲線的離心率．

解答：解：由題得：雙曲線：的左頂點A（a，0）
所以所作斜率為1的直線l：y=x+a，
若l與雙曲線M的兩條漸近線分別相交于點B（x₁，y₁），C（x₂，y₂）．
聯(lián)立其中一條漸近線y=-

b

a

x，則

y=x+a y=- b a x

，解得x₁=

a2

-a-b

①；
同理聯(lián)立

y=x+a y= b a x

，解得x₂=

a2

b-a

  ②；
又因為|AB|=|BC|，
故B是A，C的中點，
∴x₁=

x2+a

2

⇒2x₁=x₂+a，
把①②代入整理得：b=3a，
∴e=

c

a

=

a2+b2

a

=

10 a

a

=

10

．
故答案為；  

10

．

點評：本題考題雙曲線性質(zhì)的綜合運用，解題過程中要注意由|AB|=|BC|得到B是A，C的中點這以結(jié)論的運用．