Question

P（x₀，y₀）（x₀≠±a）是雙曲線E：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)上一點，M，N分別是雙曲線E的左右頂點，直線PM，PN的斜率之積為

1

5

．
（1）求雙曲線的離心率；
（2）過雙曲線E的右焦點且斜率為1的直線交雙曲線于A，B兩點，O為坐標原點，C為雙曲線上一點，滿足

OC

=λ

OA

+

OB

，求λ的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)P（x₀，y₀）（x₀≠±a）是雙曲線E：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)上一點，代入雙曲線的方程，M，N分別是雙曲線E的左右頂點，直線PM，PN的斜率之積為

1

5

，求出直線PM，PN的斜率，然后整體代換，消去x₀，y₀，再由c²=a²+b²，即可求得雙曲線的離心率；
（2）根據(jù)過雙曲線E的右焦點且斜率為1的直線，寫出直線的方程，聯(lián)立直線與雙曲線的方程，消去y，得到關(guān)于x的一元二次方程，利用韋達定理，及A，B，C為雙曲線上的點，注意整體代換，并代入

OC

=λ

OA

+

OB

，即可求得λ的值．

解答：解：（1）∵P（x₀，y₀）（x₀≠±a）是雙曲線E：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)上一點，
∴

x02

a2

-

y02

b2

=1，
由題意又有

y0

x0-a

•

y0

x0+ a

=

1

5

，
可得a²=5b²，c²=a²+b²，
則e=

c

a

=

30

5

，
（2）聯(lián)立

x2-5y2=5b2 y=x-c

，得4x²-10cx+35b²=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x₁+x₂=

5c

2

，x₁•x₂=

35b2

4

，
設(shè)

OC

=（x₃，y₃），

OC

=λ

OA

+

OB

，
即

x3=λx1+x2 y3=λy1+y2

又C為雙曲線上一點，即x₃²-5y₃²=5b²，
有（λx₁+x₂）²-5（λy₁+y₂）²=5b²，
化簡得：λ²（x₁²-5y₁²）+（x₂²-5y₂²）+2λ（x₁x₂-5y₁y₂）=5b²，
又A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）在雙曲線上，所以x₁²-5y₁²=5b²，x₂²-5y₂²=5b²，
而x₁x₂-5y₁y₂=x₁x₂-5（x₁-c）（x₂-c）=-4x₁x₂+5c（x₁+x₂）-5c²=10b²，
得λ²+4λ=0，解得λ=0或-4．

點評：此題是個難題．本題考查了雙曲線的標準方程及其簡單的幾何性質(zhì)、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，是一道綜合性的試題，考查了學生綜合運用知識解決問題的能力．其中問題（2）考查了同學們觀察、推理以及創(chuàng)造性地分析問題、解決問題的能力，