Question

已知動圓M和圓C₁：（x+1）²+y²=9內切，并和圓C₂：（x-1）²+y²=1外切．
（1）求動圓圓心M的軌跡方程；
（2）過圓C₁和圓C₂的圓心分別作直線交（1）中曲線于點B、D和A、C，且AC⊥BD，垂足為P（x₀，y₀），設點E（-2，-1），求|PE|的最大值；
（3）求四邊形ABCD面積的最小值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)兩圓外切和內切的判定，圓心距與兩圓半徑和差的關系，設出動圓半徑為r，消去r，根據(jù)圓錐曲線的定義，即可求得動圓圓心M的軌跡，進而可求其方程．
（2）首先有點P在以線段C₁C₂為直徑的圓上，再表達出|PE|，從而求出最大值；
（3）分兩類：①當AC⊥x軸或BD⊥x軸時，②當AC、BD均不垂直于x軸時，聯(lián)立直線與橢圓方程，從而表達出BD，AC的長，進而可求面積最小，將兩者比較，可得結論．

解答：解：（1）設動圓圓心為M（x，y），半徑為r，則

|MC1 =3-r  |MC2 =1+r

  ⇒ |MC1|+|MC2| =4．…（3分）
故動點M的軌跡是橢圓，a=2 ， c=1 ， b=

3

，其方程為

x2

4

+

y2

3

=1．…（5分）
（2）顯然點P在以線段C₁C₂為直徑的圓上，x₀²+y₀²=1．…（7分）
設

x0=cosθ y0=sinθ

，則|PE| =

(cosθ+2)2+(sinθ+1)2

=

6+4cosθ+2sinθ

=

6+2 5 sin (θ+?)

，
故所求最大值為

6+2 5

=

5

+1．（也可數(shù)形結合，求得|PE|max = |EO|+1=

5

+1．）…（10分）
（3）當AC⊥x軸或BD⊥x軸時，S=

1

2

|BD|•|AC| =

1

2

•4•3=6．…（11分）
當AC、BD均不垂直于x軸時，聯(lián)立

3x2+4y2=12 y=k ( x+1 )

⇒( 3+4k2) x2+8k2x+4k2-12=0，…（12分）|BD| =

1+k2

•|x1-x2| =

1+k2

•

144 ( 1+k2)

3+4k2

=

12 ( 1+k2)

3+4k2

，同理可得|AC| =

12 ( k2+1 )

3k2+4

．…（14分）S=

1

2

|BD|•|AC| =

72 ( k2+1 )2

( 3+4k2) ( 3k2+4 )

≥

72 ( k2+1 )2

(  7k2+7 2  )2

=

288

49

，當且僅當k²=1時，Smin=

288

49

．（15分）
又6＞

288

49

，∴四邊形ABCD面積的最小值為

288

49

．…（16分）

點評：本題主要考查兩圓的位置關系及判定方法和橢圓的定義和標準方程，考查最值問題