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        1. 已知動圓M和圓C1:(x+1)2+y2=9內(nèi)切,并和圓C2:(x-1)2+y2=1外切.
          (1)求動圓圓心M的軌跡方程;
          (2)過圓C1和圓C2的圓心分別作直線交(1)中曲線于點B、D和A、C,且AC⊥BD,垂足為P(x0,y0),設(shè)點E(-2,-1),求|PE|的最大值;
          (3)求四邊形ABCD面積的最小值.
          分析:(1)根據(jù)兩圓外切和內(nèi)切的判定,圓心距與兩圓半徑和差的關(guān)系,設(shè)出動圓半徑為r,消去r,根據(jù)圓錐曲線的定義,即可求得動圓圓心M的軌跡,進(jìn)而可求其方程.
          (2)首先有點P在以線段C1C2為直徑的圓上,再表達(dá)出|PE|,從而求出最大值;
          (3)分兩類:①當(dāng)AC⊥x軸或BD⊥x軸時,②當(dāng)AC、BD均不垂直于x軸時,聯(lián)立直線與橢圓方程,從而表達(dá)出BD,AC的長,進(jìn)而可求面積最小,將兩者比較,可得結(jié)論.
          解答:解:(1)設(shè)動圓圓心為M(x,y),半徑為r,則
           |MC1 =3-r
           |MC2 =1+r
            ⇒ |MC1|+|MC2| =4
          .…(3分)
          故動點M的軌跡是橢圓,a=2 , c=1 , b=
          3
          ,其方程為
          x2
          4
          +
          y2
          3
          =1
          .…(5分)
          (2)顯然點P在以線段C1C2為直徑的圓上,x02+y02=1.…(7分)
          設(shè)
          x0=cosθ
          y0=sinθ
          ,則|PE| =
          (cosθ+2)2+(sinθ+1)2
          =
          6+4cosθ+2sinθ
          =
          6+2
          5
          sin (θ+?)

          故所求最大值為
          6+2
          5
          =
          5
          +1
          .(也可數(shù)形結(jié)合,求得|PE|max = |EO|+1=
          5
          +1
          .)…(10分)
          (3)當(dāng)AC⊥x軸或BD⊥x軸時,S=
          1
          2
          |BD|•|AC| =
          1
          2
          •4•3=6
          .…(11分)
          當(dāng)AC、BD均不垂直于x軸時,聯(lián)立
          3x2+4y2=12
          y=k ( x+1 )
          ⇒( 3+4k2x2+8k2x+4k2-12=0
          ,…(12分)|BD| =
          1+k2
          •|x1-x2| =
          1+k2
          144 ( 1+k2)
          3+4k2
          =
          12 ( 1+k2)
          3+4k2
          ,同理可得|AC| =
          12 ( k2+1 )
          3k2+4
          .…(14分)S=
          1
          2
          |BD|•|AC| =
          72 k2+1 )2
          ( 3+4k2) ( 3k2+4 )
          72 k2+1 )2
          7k2+7
          2
           )
          2
          =
          288
          49
          ,當(dāng)且僅當(dāng)k2=1時,Smin=
          288
          49
          .(15分)
          6>
          288
          49
          ,∴四邊形ABCD面積的最小值為
          288
          49
          .…(16分)
          點評:本題主要考查兩圓的位置關(guān)系及判定方法和橢圓的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程,考查最值問題
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          x2
          49
          +
          y2
          45
          =1
          x2
          49
          +
          y2
          45
          =1

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          x2-
          y2
          8
          =1(x<0)
          x2-
          y2
          8
          =1(x<0)

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          (1)求動圓圓心M的軌跡方程;
          (2)過圓C1和圓C2的圓心分別作直線交(1)中曲線于點B、D和A、C,且AC⊥BD,垂足為P(x0,y0),設(shè)點E(-2,-1),求|PE|的最大值;
          (3)求四邊形ABCD面積的最小值.

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