Question

【題目】橢圓〔＞b＞0〕與拋物線有共同的焦點F，且兩曲線在第一象限的交點為M，滿足.

（1）求橢圓的方程；

（2）過點，斜率為的直線與橢圓交于兩點，設，假設，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）由題可得，，點M的橫坐標為，代入拋物線方程可求得M點縱坐標，然后利用橢圓的定義求出a，即可得到本題答案；

（2）聯立直線方程與橢圓方程，利用韋達定理得①，②，由題，得③，結合以上三個式子，得，求出在的取值范圍，即可得到本題答案.

（1）由橢圓與拋物線有共同的焦點F，且兩曲線在第一象限的交點為M，滿足，

得橢圓的，點M的橫坐標為，代入拋物線方程，可得，

因為橢圓焦點為，所以，得，則橢圓的方程為；

（2）設直線的方程為，代入橢圓方程得：，恒成立.

設，那么①，②，

由可得，③，由以上三式可得：，

當時，，因此在上單調遞增，

因此當時，，

因此，，解得.