Question

已知圓C：(x+1)²+y²=r²(r為常數(shù)，且r＞2)，定點B(1，0),A是圓C上的動點，直線AC與線段朋的垂直平分線l相交于點M．當點A在圓C上移動一周時，點M的軌跡記為曲線F．

(1)求曲線F的方程；

(2)若點M在第一象限，且=,△CMB的面積S_△CMB=，求r的值及直線l的方程．

Answer 1

解：(1)連接MB，由題意有：

|MC|+|MB|=|MC|+|MA|=|AC|=r

又r＞|BC|=2

∴點M的軌跡是以C(-1，0)，B(1，0)為焦點的橢圓

∴a=  c=l

∴曲線F的方程為：=1

(2)設(shè)M(x₀，y₀)，且x₀、y₀＞0

由于S_△CMB=|CB|y₀=y₀=  所以M(x₀，)

又=(x₀+1，)，=(x₀-1，)

所以·=

所以x₀=1，即M(1，)

所以|MC|=,|MB|=

所以r=|MC|+|MB|=4

(或用待定系數(shù)法將M(1，)代入(1)中方程解出r)

點A分線段CM所成定比λ=．

即點A坐標x=,y=.

所以點A(,)

(或求出直線AC方程與圓C方程聯(lián)立求出點A坐標)

所以K_AB=/(-1)=2，又l⊥AB所以k_l=

故直線l方程為：y- (x-1)即x+2y-4=0