Question

【題目】已知橢圓的離心率為，點在橢圓上，焦點為，圓O的直徑為．

（1）求橢圓C及圓O的標準方程；

（2）設(shè)直線l與圓O相切于第一象限內(nèi)的點P，且直線l與橢圓C交于兩點．記 的面積為，證明：．

Answer 1

【答案】（1），；（2）見解析

【解析】

(1)利用橢圓的性質(zhì)列出方程組，即可得到橢圓C及圓O的標準方程；

(2)利用斜截式設(shè)出直線的方程，根據(jù)點到直線的距離公式得到點到直線的距離，將直線的方程代入橢圓，結(jié)合韋達定理，得出的長度，利用三角形面積公式以及二次函數(shù)的性質(zhì)即可證明.

（1）由題意，橢圓C的方程為.

可得，解得

所以橢圓C的方程為．

因為焦點在軸上，

所以橢圓C的焦點為．

所以直徑為的圓O的方程為．

（2）由題意知，直線l與圓O相切于第一象限內(nèi)的點P，

設(shè)直線的斜截式方程為.

因為直線與圓相切，

所以點到直線的距離為.

即.

因為直線與橢圓C相交于兩點，

由，整理得，

設(shè)，則

.

因為．

又，

所以.

所以.

又因為，

所以．

因為，

所以

．

設(shè)，則，則

.

令.

則.

設(shè)

因為在上單調(diào)遞減，

所以.

所以.