Question

【題目】如圖，三棱錐中，平面平面，，，點(diǎn)，分別是棱，的中點(diǎn)，點(diǎn)是的重心.

（1）證明：平面；

（2）若與平面所成的角為，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）

【解析】

（1）根據(jù)三角形重心性質(zhì)可得，根據(jù)三角形中位線性質(zhì)得，再根據(jù)線面平行判定定理得平面，平面，最后根據(jù)面面平行判定定理以及性質(zhì)得結(jié)果；

（2）先根據(jù)面面垂直性質(zhì)定理得平面，確定與平面所成的角，再根據(jù)條件建立空間直角坐標(biāo)系，求出各點(diǎn)坐標(biāo)，利用向量數(shù)量積得各面法向量，最后根據(jù)向量夾角公式得法向量夾角，即得二面角所成角.

（1）連接，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，則點(diǎn)為的中點(diǎn)，

從而點(diǎn)，，分別是棱，，的中點(diǎn)，

∴，.

又，平面，，平面，

∴平面，平面.

又，平面，，

∴平面平面，

又平面，

∴平面.

（2）連接，∵，是的中點(diǎn)，∴，

∵平面平面，平面平面，

平面，平面.

連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，則為的中點(diǎn)，

連接，則，∴平面.

∴為與平面所成的角，即.

在中，設(shè)，則，，∴，.

∴，，，

∴，即，

如圖建立空間直角坐標(biāo)系，

則，，.

∴，，

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，

則，可取，

又平面的一個(gè)法向量為，

則，

所以二面角的余弦值為.