Question

【題目】已知數(shù)列、的前項(xiàng)和分別為和，數(shù)列滿足， ，，等差數(shù)列滿足，.

（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；

（2）若數(shù)列滿足，求證：，其中.

Answer 1

【答案】（1），；（2）證明見解析.

【解析】

（1）根據(jù)與的關(guān)系和等比數(shù)列的定義，可證出為首項(xiàng)，公比的等比數(shù)列，再根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和性質(zhì)，求出和，即可求出的通項(xiàng)公式；

（2）寫出，根據(jù)等比數(shù)列的定義，可知是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，再利用等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式求出，即可證出.

解：（1）由于， ，則，

則，即，

所以數(shù)列為首項(xiàng)，公比的等比數(shù)列，

則；

由于在等差數(shù)列中，，，

則，即，得，

故.

（2）由于，得，

則，且，

則數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，

則，

即時(shí)，.