已知動直線
與橢圓
交于
、
兩不同點，且△
的面積
=
，其中
為坐標原點.
（1）證明
和
均為定值；
（2）設線段
的中點為
，求
的最大值；
（3）橢圓
上是否存在點
，使得
？若存在，判斷△
的形狀；若不存在，請說明理由.
（1）證明詳見解析；（2）
；（3）不存在點
滿足要求.
解析試題分析：（1）先檢驗直線斜率不存在的情況，后假設直線的方程，利用弦長公式求出
的長，利用點到直線的距離公式求點到直線的距離，根據三角形的面積公式，即可求得
與
均為定值；（2）由（1）可求線段的中點的坐標，代入
并利用基本不等式求最值；（3）假設存在
，使得，由（1）得
，
，從而求得點
的坐標，可以求出直線
的方程，從而得到結論.
試題解析：（1）當直線的斜率不存在時，P，Q兩點關于
軸對稱，所以
因為
在橢圓上，因此
①
又因為
所以
②
由①、②得
，此時
2分
當直線的斜率存在時，設直線的方程為
由題意知
，將其代入，得
其中
即
（*）
又
所以
因為點到直線的距離為
所以
又
，整理得
，且符合（*）式
此時
綜上所述，
結論成立 5分
（2）解法一：
（1）當直線的斜率不存在時，由（I）知
因此
6分
（2）當直線的斜率存在時，由（I）知
所以
所以
，當且僅當
，即
時，等號成立
綜合（1）（2）得的最大值為 9分
解法二：因為
所以
即
當且僅當
時等號成立
因此的最大值為 9分
（3）橢圓C上不存在三點，使得 10分
證明：假設存在滿足
由（I）得
名校課堂系列答案科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知A，B，C是橢圓W：
＋y2＝1上的三個點，O是坐標原點．
(1)當點B是W的右頂點，且四邊形OABC為菱形時，求此菱形的面積；
(2)當點B不是W的頂點時，判斷四邊形OABC是否可能為菱形，并說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知中心在原點
的橢圓C：
的一個焦點為F1(0,3)，M(x,4)(x＞0)為橢圓C上一點，△MOF1的面積為
.
（1） 求橢圓C的方程；
（2） 是否存在平行于OM的直線l，使得直線l與橢圓C相交于A，B兩點，且以線段AB為直徑的圓恰好經過原點？若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
如圖，已知橢圓C的中心在原點，焦點在x軸上，離心率為
，且過點
，點A、B分別是橢圓C長軸的左、右端點，點F是橢圓的右焦點，點P在橢圓上，且位于
軸上方，
.
（1）求橢圓C的方程；
（2）求點P的坐標；
（3）設M是直角三角PAF的外接圓圓心，求橢圓C上的點到點M的距離
的最小值．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
如圖，已知橢圓
：
的離心率為 
，點
為其下焦點，點
為坐標原點，過 的直線 
：
（其中
）與橢圓 相交于
兩點，且滿足：
.
（1）試用 
表示 
；
（2）求 的最大值；
（3）若 
，求 
的取值范圍.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知橢圓
（
）的右焦點為
，離心率為
.
（Ⅰ）若
，求橢圓的方程；
（Ⅱ）設直線
與橢圓相交于
，
兩點，
分別為線段
的中點. 若坐標原點
在以
為直徑的圓上，且
，求
的取值范圍.
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、
，動點
滿足：
，且
的方程；
的切線
與軌跡
.
的焦點為焦點，且過
點的雙曲線的標準方程.
：
.
軸上的橢圓，求
的取值范圍；
，過點
的直線
與曲線
,
兩點，
為坐標原點，若
為直角三角形，求直線