Question

已知某商品的生產(chǎn)成本C與產(chǎn)量q滿足的函數(shù)關(guān)系為C=100+4q，價格p與產(chǎn)量q滿足p=25-

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q．
（1）求利潤L與產(chǎn)量q的函數(shù)關(guān)關(guān)系式；
（2）求當產(chǎn)量為100時的利潤值；
（3）求利潤最大時的產(chǎn)量q．

Answer 1

分析：（1）收入R=p•q=(25-

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q)•q=25q-

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8

q2，利潤L=R-C=(25q-

1

8

q2)-(100+4q)，由此能求出利潤L與產(chǎn)量q的函數(shù)關(guān)系式．
（2）當q=100時，把q=100代入利潤L的函數(shù)關(guān)系式就能求出相應(yīng)的利潤值．
（3）法一：L′=-

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4

q+21，令L′=0，得q=84．由此進行討論能求出L取最大值的產(chǎn)量q．
法二：L=-

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8

q2+21q-100，(0＜q＜200)，圖象開口向下，對稱軸為q=-

21

2×(- 1 8 )

=84，由此能求出L取最大值的產(chǎn)量q．

解答：解：（1）收入R=p•q=(25-

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8

q)•q=25q-

1

8

q2，
利潤L=R-C=(25q-

1

8

q2)-(100+4q)
=-

1

8

q2+21q-100，(0＜q＜200)．
（2）當q=100時，L=-

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×1002+21×100-100=750．
答：產(chǎn)量為100時，利潤值為750．
（3）解法一：L′=-

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q+21，
令L′=0，得q=84．
∵0＜q＜84時，L‘＞0，84＜q＜200時，L‘＜0，
∴當q=84時，L取得最大值．
解法二：L=-

1

8

q2+21q-100，(0＜q＜200)，
圖象開口向下，對稱軸為q=-

21

2×(- 1 8 )

=84，
且84∈（0，200），
∴q=84時，對應(yīng)函數(shù)的最高點，即L取得最大值．
答：產(chǎn)量為84時，利潤最大．

點評：本題考查函數(shù)在生產(chǎn)實際中的應(yīng)用，考查運算求解能力，推理論證能力；考查函數(shù)與方程思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想．綜合性強，是高考的重點．解題時要導(dǎo)數(shù)和拋物線性質(zhì)的靈活運用．本題有一定的探索性．綜合性強，難度大，易出錯．