Question

【題目】設(shè)函數(shù)，.

（1）若（其中）

（ⅰ）求實(shí)數(shù)t的取值范圍；

（ⅱ）證明：；

（2）是否存在實(shí)數(shù)a，使得在區(qū)間內(nèi)恒成立，且關(guān)于x的方程在內(nèi)有唯一解？請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）（ⅰ）；（ⅱ）證明見(jiàn)解析；（2）存在，理由見(jiàn)解析.

【解析】

（1）（ⅰ）求得的導(dǎo)函數(shù)，判斷出的單調(diào)性，根據(jù)函數(shù)與在的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)可得的范圍；

（ⅱ）將證明成立，轉(zhuǎn)化為證：，結(jié)合在上的單調(diào)性，轉(zhuǎn)化為證，結(jié)合換元法以及導(dǎo)數(shù)的工具作用證得上述不等式成立，由此證得成立.

（2）構(gòu)造函數(shù)，首先判斷出，利用求得的可能取值為.利用導(dǎo)數(shù)證明當(dāng)時(shí)，在區(qū)間內(nèi)恒成立，且關(guān)于x的方程在內(nèi)有唯一解.

（1）（ⅰ）解：

在遞增，遞減，且

又當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，

（ⅱ）由（�。┲�：，

要證：成立，只需證：

在遞增，故只需證：

即證：

令，只需證：，即證：

令，，.證畢

（2）令

，且需在區(qū)間內(nèi)恒成立

，可得

事實(shí)上，當(dāng)時(shí)，，下證：

法一：，

令，則在單調(diào)遞減，

由于，，

存在使在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，且.

，

在遞減，遞增，，

在區(qū)間內(nèi)恒成立，

當(dāng)時(shí)，在區(qū)間內(nèi)恒成立，且在內(nèi)有唯一解，證畢.

法二：

令，則，所以在遞減，遞增

，即，

在遞減，遞增，

在區(qū)間內(nèi)恒成立

當(dāng)時(shí)，在區(qū)間內(nèi)恒成立，且在內(nèi)有唯一解，證畢.