【題目】設(shè)函數(shù),
.
(1)若(其中
)
(。┣髮(shí)數(shù)t的取值范圍;
(ⅱ)證明:;
(2)是否存在實(shí)數(shù)a,使得在區(qū)間
內(nèi)恒成立,且關(guān)于x的方程
在
內(nèi)有唯一解?請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】(1)(。;(ⅱ)證明見(jiàn)解析;(2)存在,理由見(jiàn)解析.
【解析】
(1)(ⅰ)求得的導(dǎo)函數(shù)
,判斷出
的單調(diào)性,根據(jù)函數(shù)
與
在
的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)可得
的范圍;
(ⅱ)將證明成立,轉(zhuǎn)化為證:
,結(jié)合
在
上的單調(diào)性,轉(zhuǎn)化為證
,結(jié)合換元法以及導(dǎo)數(shù)的工具作用證得上述不等式成立,由此證得
成立.
(2)構(gòu)造函數(shù),首先判斷出
,利用
求得
的可能取值為
.利用導(dǎo)數(shù)證明當(dāng)
時(shí),
在區(qū)間
內(nèi)恒成立,且關(guān)于x的方程
在
內(nèi)有唯一解
.
(1)(。┙猓
在
遞增,
遞減,且
又當(dāng)
時(shí),
;當(dāng)
時(shí),
(ⅱ)由(。┲,
要證:成立,只需證:
在
遞增,故只需證:
即證:
令,只需證:
,即證:
令,
,
.證畢
(2)令
,且需
在區(qū)間
內(nèi)恒成立
,可得
事實(shí)上,當(dāng)時(shí),
,下證:
法一:,
令,則
在
單調(diào)遞減,
由于,
,
存在
使
在
單調(diào)遞增,
單調(diào)遞減,且
.
,
在
遞減,
遞增,
,
在區(qū)間
內(nèi)恒成立,
當(dāng)
時(shí),
在區(qū)間
內(nèi)恒成立,且
在
內(nèi)有唯一解
,證畢.
法二:
令,則
,所以
在
遞減,
遞增
,即
,
在
遞減,
遞增,
在區(qū)間
內(nèi)恒成立
當(dāng)
時(shí),
在區(qū)間
內(nèi)恒成立,且
在
內(nèi)有唯一解
,證畢.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】4月23日是“世界讀書(shū)日”,某中學(xué)開(kāi)展了一系列的讀書(shū)教育活動(dòng).學(xué)校為了解高三學(xué)生課外閱讀情況,采用分層抽樣的方法從高三某班甲、乙、丙、丁四個(gè)讀書(shū)小組(每名學(xué)生只能參加一個(gè)讀書(shū)小組)學(xué)生抽取12名學(xué)生參加問(wèn)卷調(diào)查.各組人數(shù)統(tǒng)計(jì)如下:
小組 | 甲 | 乙 | 丙 | 丁 |
人數(shù) | 12 | 9 | 6 | 9 |
(1)從參加問(wèn)卷調(diào)查的12名學(xué)生中隨機(jī)抽取2人,求這2人來(lái)自同一個(gè)小組的概率;
(2)從已抽取的甲、丙兩個(gè)小組的學(xué)生中隨機(jī)抽取2人,用表示抽得甲組學(xué)生的人數(shù),求隨機(jī)變量
的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某城市為了解游客人數(shù)的變化規(guī)律,提高旅游服務(wù)質(zhì)量,收集并整理了2014年1月至2017年1月期間月接待游客量(單位:萬(wàn)人)的數(shù)據(jù),繪制了下面的折線圖.根據(jù)該折線圖,下列結(jié)論正確的是( )
A.月接待游客逐月增加
B.年接待游客量逐年減少
C.各年的月接待游客量高峰期大致在6、7月
D.各年1月至6月的月接待游客量相對(duì)于7月至12月,波動(dòng)性較小,變化比較穩(wěn)定
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】近兩年來(lái),以《中國(guó)詩(shī)詞大會(huì)》為代表的中國(guó)文化類(lèi)電視節(jié)目帶動(dòng)了一股中國(guó)文化熱潮.某臺(tái)舉辦闖關(guān)答題比賽,共分兩輪,每輪共有4類(lèi)題型,選手從前往后逐類(lèi)回答,若中途回答錯(cuò)誤,立馬淘汰,若全部回答正確,就能獲得一枚復(fù)活幣并進(jìn)行下一輪答題,兩輪都通過(guò)就可以獲得最終獎(jiǎng)金.選手在第一輪闖關(guān)獲得的復(fù)活幣,系統(tǒng)會(huì)在下一輪答題中自動(dòng)使用,即下一輪重新進(jìn)行闖關(guān)答題時(shí),在某一類(lèi)題型中回答錯(cuò)誤,自動(dòng)復(fù)活一次,視為答對(duì)該類(lèi)題型.若某選手每輪的4類(lèi)題型的通過(guò)率均分別為、
、
、
,則該選手進(jìn)入第二輪答題的概率為_________;該選手最終獲得獎(jiǎng)金的概率為_________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系xoy中,以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系。已知曲線C的極坐標(biāo)方程為,過(guò)點(diǎn)
的直線l的參數(shù)方程為
(為參數(shù)),直線l與曲線C交于M、N兩點(diǎn)。
(1)寫(xiě)出直線l的普通方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程:
(2)若成等比數(shù)列,求a的值。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】現(xiàn)從某醫(yī)院中隨機(jī)抽取了位醫(yī)護(hù)人員的關(guān)愛(ài)患者考核分?jǐn)?shù)(患者考核:
分制),用相關(guān)的特征量
表示;醫(yī)護(hù)專業(yè)知識(shí)考核分?jǐn)?shù)(試卷考試:
分制),用相關(guān)的特征量
表示,數(shù)據(jù)如下表:
(1)求關(guān)于
的線性回歸方程(計(jì)算結(jié)果精確到
);
(2)利用(1)中的線性回歸方程,分析醫(yī)護(hù)專業(yè)考核分?jǐn)?shù)的變化對(duì)關(guān)愛(ài)患者考核分?jǐn)?shù)的影響,并估計(jì)當(dāng)某醫(yī)護(hù)人員的醫(yī)護(hù)專業(yè)知識(shí)考核分?jǐn)?shù)為分時(shí),他的關(guān)愛(ài)患者考核分?jǐn)?shù)(精確到
).
參考公式及數(shù)據(jù):回歸直線方程中斜率和截距的最小二乘法估計(jì)公式分別為
,其中
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】下列命題正確的有_________(填序號(hào))
①已知:
或
,
:
,則
是
的必要不充分條件;
②“”是“函數(shù)
的最小正周期為
”的充分不必要條件;
③中,內(nèi)角
,
,
所對(duì)的邊分別為
,
,
,
,
,則“
”是“
為等腰三角形”的必要不充分條件;
④若命題:“函數(shù)
的值域?yàn)?/span>
”為真命題,則實(shí)數(shù)
的取值范圍是
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓的右焦點(diǎn)為
,過(guò)點(diǎn)
且與
軸垂直的直線被橢圓截得的線段長(zhǎng)為
,且
與短軸兩端點(diǎn)的連線相互垂直.
(1)求橢圓的方程;
(2)若圓上存在兩點(diǎn)
,
,橢圓
上存在兩個(gè)點(diǎn)
滿足:
三點(diǎn)共線,
三點(diǎn)共線,且
,求四邊形
面積的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖在四棱錐中,側(cè)棱
平面
,底面
是直角梯形,
,
,
,
,
為側(cè)棱
中點(diǎn).
(1)設(shè)為棱
上的動(dòng)點(diǎn),試確定點(diǎn)
的位置,使得平面
平面
,并寫(xiě)出證明過(guò)程;
(2)求二面角的余弦值.
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