[題目]已知0＜x＜1.0＜y＜1. 求證 + + + ≥2 .并求使等號成立的條件．題目和參考答案——青夏教育精英家教網(wǎng)—

【題目】已知0＜x＜1，0＜y＜1，求證 + + + ≥2 ，并求使等號成立的條件．

【答案】證明：∵0＜x＜1，0＜y＜1，設(shè)P（x，y），A（1，0），B（1，1），C（0，1），如圖：則|PO|= ，|PA|= ，|PB|= ，|PC|= ，
∵|PO|+|PB|≥|BO|= ，|PA|+|PC|≥|AC|=
∴|PO|+|PB|+|PA|+|PC|≥2 （當(dāng)且僅當(dāng)點P為正方形的對角線AC與OB的交點是取等號），
即x=y= 時取等號．
∴ + + + ．

【解析】依題意，作圖如下，利用兩點間的距離公式可知|PO|= ，|PA|= ，|PB|= ，|PC|= ，利用三角不等式可證|PO|+|PB|+|PA|+|PC|≥2
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解二維形式的柯西不等式的相關(guān)知識，掌握二維形式的柯西不等式：當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立．

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】據(jù)調(diào)查，某地區(qū)有300萬從事傳統(tǒng)農(nóng)業(yè)的農(nóng)民，人均年收入6000元，為了增加農(nóng)民的收入，當(dāng)?shù)卣e極引進資本，建立各種加工企業(yè)，對當(dāng)?shù)氐霓r(nóng)產(chǎn)品進行深加工，同時吸收當(dāng)?shù)夭糠洲r(nóng)民進入加工企業(yè)工作，據(jù)估計，如果有萬人進企業(yè)工作，那么剩下從事傳統(tǒng)農(nóng)業(yè)的農(nóng)民的人均年收入有望提高，而進入企業(yè)工作的農(nóng)民的人均年收入為元．

（1）在建立加工企業(yè)后，多少農(nóng)民進入企業(yè)工作，能夠使剩下從事傳統(tǒng)農(nóng)業(yè)農(nóng)民的總收入最大，并求出最大值；

（2）為了保證傳統(tǒng)農(nóng)業(yè)的順利進行，限制農(nóng)民加入加工企業(yè)的人數(shù)不能超過總?cè)藬?shù)的，當(dāng)?shù)卣绾我龑?dǎo)農(nóng)民，即取何值時，能使300萬農(nóng)民的年總收入最大．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在下列命題中，①的一個充要條件是與它的共軛復(fù)數(shù)相等：

②利用獨立性檢驗來考查兩個分類變量，是否有關(guān)系，當(dāng)隨機變量的觀測值值越大，“與有關(guān)系”成立的可能性越大；

③在回歸分析模型中，若相關(guān)指數(shù)越大，則殘差平方和越小，模型的擬合效果越好；

④若，是兩個相等的實數(shù)，則是純虛數(shù)；

⑤某校高三共有個班，班有人，班有人，班有人，由此推測各班都超過人，這個推理過程是演繹推理.

其中真命題的序號為__________．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】f（n）=1+ + +…+ （n∈N*），計算可得f（2）= ，f（4）＞2，f（8）＞，f（16）＞3，f（32）＞，推測當(dāng)n≥2時，有．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在中,已知，在上，且，又平面.

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖是函數(shù)y=Asin（ωx+φ）（A＜0，ω＞0，|φ|≤ ）圖象的一部分．為了得到這個函數(shù)的圖象，只要將y=sinx（x∈R）的圖象上所有的點（）
A.向左平移個單位長度，再把所得各點的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，縱坐標(biāo)不變
B.向左平移個單位長度，再把所得各點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變
C.向左平移個單位長度，再把所得各點的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，縱坐標(biāo)不變
D.向左平移個單位長度，再把所得各點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變