Question

【題目】已知函數(shù)是定義域?yàn)?/span>R的奇函數(shù).

（1）求t的值，并寫出的解析式；

（2）判斷在R上的單調(diào)性，并用定義證明；

（3）若函數(shù)在上的最小值為，求k的值.

Answer 1

【答案】（1）或，；（2）R上單調(diào)遞增，證明見解析；（3）

【解析】

（1）是定義域?yàn)?/span>R的奇函數(shù)，利用奇函數(shù)的必要條件，求出的值，進(jìn)而求出，驗(yàn)證是否為奇函數(shù)；

（2）可判斷在上為增函數(shù)，用函數(shù)的單調(diào)性定義加以證明，取兩個(gè)不等的自變量，對應(yīng)函數(shù)值做差，因式分解，判斷函數(shù)值差的符號，即可證明結(jié)論；

（3）由，換元令，，由（2）得，，根據(jù)條件轉(zhuǎn)化為在最小值為-2，對二次函數(shù)配方，求出對稱軸，分類討論求出最小值，即可求解

解：（1）因?yàn)?/span>是定義域?yàn)?/span>R的奇函數(shù)，

所以，即，解得或，

可知，此時(shí)滿足，

所以.

（2）在R上單調(diào)遞增.

證明如下：設(shè)，則

.

因?yàn)?/span>，所以，

所以，可得.

因?yàn)楫?dāng)時(shí)，有，

所以在R單調(diào)遞增.

（3）由（1）可知，

令，則，

因?yàn)?/span>是增函數(shù)，且，所以.

因?yàn)?/span>在上的最小值為，

所以在上的最小值為.

因?yàn)?/span>，

所以當(dāng)時(shí)，，

解得或（舍去）；

當(dāng)時(shí)，，不合題意，舍去.

綜上可知，.