Question

如圖，四邊形ABCD為矩形，AD⊥平面ABE，AE=EB=BC=2，F(xiàn)為CE上的點，且BF⊥平面ACE．
（1）求三棱錐D-AEC的體積；
（2）設M在線段AB上，且滿足AM=2MB，試在線段CE上確定一點N，使得MN∥平面DAE．

Answer 1

分析：（1）轉化頂點，以平面ADC為底，取AB中點O，連接OE，因為OE⊥AB，OE⊥AD，得到OE⊥面ADC，所以OE為底面上高，分別求得底面積和高，再用三棱錐的體積公式求解；
（2）在△ABE中過M點作MG∥AE交BE于G點，在△BEC中過G點作GN∥BC交EC于N點，連MN，證明平面MGE∥平面ADE，可得MN∥平面ADE，從而可得結論．

解答：解：（1）取AB中點O，連接OE．
因為AE=EB，所以OE⊥AB．
因為AD⊥面ABE，OE?面ABE，所以OE⊥AD，
所以OE⊥面ABD．
因為BF⊥面ACE，AE?面ACE，所以BF⊥AE．
因為CB⊥面ABE，AE?面ABE，所以AE⊥BC．
又BF∩BC=B，所以AE⊥平面BCE．
又BE?面BCE，所以AE⊥EB．
所以△AEB為等腰直角三角形，所以AB=2

2

，所以AB邊上的高OE為

2

，
所以V_D-AEC=V_E-ADC=

1

3

×2

2

×

2

=

4

3

．
（2）在△ABE中過M點作MG∥AE交BE于G點，在△BEC中過G點作GN∥BC交EC于N點，連MN，所以CN=

1

3

CE．
因為MG∥AE，MG?平面ADE，AE?平面ADE，
所以MG∥平面ADE．
同理，GN∥平面ADE，且MG與GN交于G點，
所以平面MGE∥平面ADE．
又MN?平面MGN，所以MN∥平面ADE．
所以N點為線段CE上靠近C點的一個三等分點．

點評：本題考查三棱錐體積的求法，考查線面平行，轉換底面，證明面面平行是關鍵，屬中檔題．