Question

（2013•寧波二模）已知空間向量

a

，

b

滿足|

a

|=|

b

|=1，且

a

， 

b

的夾角為

π

3

，O為空間直角坐標系的原點，點A、B滿足

OA

=2

a

+

b

，

OB

=3

a

-

b

，則△OAB的面積為（　　）

• A．

  5

  2

  3

• B．

  5

  4

  3

• C．

  7

  4

  3

• D．

  11

  4

Answer 1

分析：由向量的運算可得|

OA

|，|

OB

|，以及

OA

•

OB

，代入夾角公式可得cos∠BOA，由平方關系可得sin∠BOA，代入三角形的面積公式S=

1

2

|

OA

||

OB

|sin∠BOA，計算可得．

解答：解：由題意可得|

OA

|=

(2 a + b )

2=

4 a 2+2 a • b + b 2

=

4×12+4×1×1× 1 2 +12

=

7

，
同理可得|

OB

|=

(3 a - b )

2=

9 a 2-6 a • b + b 2

=

9×12-6×1×1× 1 2 +12

=

7

，
而

OA

•

OB

=（2

a

+

b

）•（3

a

-

b

）=6

a

2+

a

•

b

-

b

2=6×1²+1×1×

1

2

-1²=

11

2

，
故cos∠BOA=

OA • OB

| OA || OB |

=

11 2

7 • 7

=

11

14

，可得sin∠BOA=

1-( 11 14 )2

=

5 3

14

，
所以△OAB的面積S=

1

2

|

OA

||

OB

|sin∠BOA=

1

2

×

7

×

7

×

5 3

14

=

5 3

4

．
故選B

點評：本題考查平面向量的數量積和三角形面積的求解，熟練掌握公式是解決問題的關鍵，屬中檔題．