Question

【題目】已知分別是橢圓 的長(zhǎng)軸與短軸的一個(gè)端點(diǎn)， 分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)， 橢圓上的一點(diǎn)， 的周長(zhǎng)為.

（1）求橢圓的方程；

（2）若是圓上任一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作橢圓的切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為，求證： .

Answer 1

【答案】（1）；（2）見(jiàn)解析.

【解析】試題分析：（1）根據(jù)題意求解即可；

（2）討論切線(xiàn)的斜率不存在或?yàn)榱銜r(shí)和點(diǎn)切線(xiàn)斜率存在且不為零時(shí)，設(shè)切線(xiàn)的方程為的方程為，分析條件可得是方程的兩個(gè)根，利用韋達(dá)定理可得進(jìn)而證得結(jié)論成立.

試題解析：

(1)由的周長(zhǎng)為，得，由，得，又.故橢圓的方程為.

(2) ① 當(dāng)切線(xiàn)的斜率不存在或?yàn)榱銜r(shí)，此時(shí)取，顯然直線(xiàn)與直線(xiàn)恰是橢圓的兩條切線(xiàn).由圓及橢圓的對(duì)稱(chēng)性，可知.

②點(diǎn)切線(xiàn)斜率存在且不為零時(shí)，設(shè)切線(xiàn)的方程為的方程為，由，消，得，

與橢圓相切， .

.即；同理：切線(xiàn)中， ， 是方程的兩個(gè)根，又在圓上， .

綜上所述： .