Question

家用冰箱使用的氟化物的釋放破壞了大氣上層臭氧層．臭氧含量Q呈指數(shù)函數(shù)型變化，滿足關系式，其中Q是臭氧的初始量．
（1）隨時間的增加，臭氧的含量是增加還是減少？
（2）多少年以后將會有一半的臭氧消失？

Answer 1

【答案】分析：（1）本題中的函數(shù)關系是一個指數(shù)型函數(shù)模型，由于其指數(shù)為負數(shù)，初值為正數(shù)，由指數(shù)型函數(shù)的特征知其是一個減函數(shù)．
（2）知函數(shù)值變成了原來的一半求自變量，將函數(shù)值代入得到關于自變量的方程，解指數(shù)方程求年數(shù)，本方程在求解時因為未知數(shù)在指數(shù)上，故應采取兩邊取對數(shù)的方法將指數(shù)方程轉化為一次方程求x的值．
解答：解：（1）∵Q＞0，，e＞1，∴為減函數(shù)．（3分）
∴隨時間的增加，臭氧的含量是減少．（6分）
（2）設x年以后將會有一半的臭氧消失，則，
即，（8分）
兩邊取自然對數(shù)得，，（10分）
解得x=400ln2≈278．（11分）
∴278年以后將會有一半的臭氧消失．（12分）
點評：本題考查指數(shù)型函數(shù)，利用指數(shù)的相關性質來研究指數(shù)型函數(shù)的性質，以及解指數(shù)型方程，解此類方程時一般是用兩邊取對數(shù)的方法把指數(shù)方程轉化為一元一次方程或者是一元二次方程求值．