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        1. 已知Sn是數(shù)列{
          1
          n
          }
          的前n項(xiàng)和;
          (1)分別計(jì)算S2-S1,S4-S2,S8-S4的值;
          (2)證明:當(dāng)n≥1時(shí),S2n-S2n-1
          1
          2
          ,并指出等號(hào)成立條件;
          (3)利用(2)的結(jié)論,找出一個(gè)適當(dāng)?shù)腡∈N,使得Sr>2008.
          分析:(1)較為簡單,代入可計(jì)算;
          (2)由(1)可猜想(2)的結(jié)論也是成立的,證明時(shí)要適當(dāng)?shù)姆趴s每一項(xiàng)(共2n-1項(xiàng))都縮小為
          1
          2n

          (3)的解答可由(2)的結(jié)論想到:新數(shù)列S2-S1,S4-S2,S8-S4…中每一項(xiàng)的值都大于等于
          1
          2
          ,那么4018項(xiàng)的和為2009,于是對于數(shù)列{an}中連同a1就有24019項(xiàng),即a1+S24019-S24018>1+2009=2010.
          解答:解:
          (1)S2-S1=
          1
          2
          ,
          S4-S2=
          1
          3
          +
          1
          4
          =
          7
          12
          ,
          S8-S4=
          1
          5
          +
          1
          6
          +
          1
          7
          +
          1
          8
          =
          168+140+120+105
          840
          =
          533
          840
          .(2分)
          (2)當(dāng)n≥1時(shí),S2n-S2n-1=
          1
          2n-1+1
          +
          1
          2n-1+2
          +…+
          1
          2n
          (共2n-1項(xiàng))
          1
          2n
          ×2n-1=
          1
          2
          ,當(dāng)且僅當(dāng)n=1時(shí),等號(hào)成立.(4分)
          (3)由于S1=1,當(dāng)n≥1時(shí),S2^-S2n-1
          1
          2
          ,
          于是,要使得ST>2008,只需
          1
          2
          +
          1
          3
          ++
          1
          n
          >2007.
          1
          2
          +
          1
          3
          ++
          1
          n
          按照第一組21項(xiàng),第二組22項(xiàng),,第n組2n項(xiàng)的方式分組(6分)
          由(2)可知,每一組的和不小于
          1
          2
          ,且只有n=1時(shí)等于
          1
          2
          ,
          將這樣的分組連續(xù)取2×2007組,加上a1,共有24015項(xiàng),
          這24015項(xiàng)之和一定大于1+2007=2008,
          故只需T=24015,就能使得ST>2008.
          點(diǎn)評:本題考查了數(shù)列前n項(xiàng)和的概念,不等式恒成立問題,合理猜想與邏輯推理的概念.對不等式的考查有一定的難度,綜合性較強(qiáng),需要同學(xué)有深厚的功底才能勝任本題的解答.
          練習(xí)冊系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知Sn是數(shù)列{
          1
          n
          }的前n項(xiàng)和,
          (1)分別計(jì)算S2-S1,S4-S2,S8-S4的值;
          (2)證明:當(dāng)n≥1時(shí),S2^-S2n-1
          1
          2
          ,并指出等號(hào)成立條件;
          (3)利用(2)的結(jié)論,找出一個(gè)適當(dāng)?shù)腡∈N,使得ST>2010;
          (4)是否存在關(guān)于正整數(shù)n的函數(shù)f(n),使得S1+S2+…+Sn-1=f(n)(Sn-1)對于大于1的正整數(shù)n都成立?證明你的結(jié)論.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知函數(shù)y=f(x)(x∈R)滿足f(x)+f(1-x)=1.
          (1)求f(
          1
          2
          )和f(
          1
          n
          )+f(
          n-1
          n
          )(n∈N*)
          的值;
          (2)若數(shù)列{an}滿足an=f(0)+f(
          1
          n
          )+f(
          2
          n
          )+…+f(
          n-1
          n
          )+f(1)
          (n∈N*),求{an}的通項(xiàng)公式;
          (3)若數(shù)列{bn}滿足bn=2n+1•an,Sn是數(shù)列{bn}前n項(xiàng)的和,是否存在正實(shí)數(shù)k,使不等式knSn>4bn對于一切的n∈N*恒成立?若存在指出k的取值范圍,并證明;若不存在說明理由.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          設(shè)Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,已知a1=1,an=-Sn•Sn-1(n≥2),則Sn=( 。

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知函數(shù)f(x)=
          4x
          4x+2

          (Ⅰ)求f(x)+f(1-x),x∈R的值;
          (Ⅱ)若數(shù)列{an} 滿足an=f(0)+f(
          1
          n
          )+f(
          2
          n
          )+…+f(
          n-1
          n
          )+f(1)(n∈N*),求數(shù)列{an} 的通項(xiàng)公式;
          (Ⅲ)若數(shù)列 {bn} 滿足bn=2n+1•an,Sn 是數(shù)列 {bn} 的前n項(xiàng)和,是否存在正實(shí)數(shù)k,使不等式knSn>4bn對于一切的n∈N*恒成立?若存在,請求出k的取值范圍;若不存在,請說明理由.

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          同步練習(xí)冊答案