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        1. 已知函數(shù)f(x)=
          4x
          4x+2

          (Ⅰ)求f(x)+f(1-x),x∈R的值;
          (Ⅱ)若數(shù)列{an} 滿足an=f(0)+f(
          1
          n
          )+f(
          2
          n
          )+…+f(
          n-1
          n
          )+f(1)(n∈N*),求數(shù)列{an} 的通項(xiàng)公式;
          (Ⅲ)若數(shù)列 {bn} 滿足bn=2n+1•an,Sn 是數(shù)列 {bn} 的前n項(xiàng)和,是否存在正實(shí)數(shù)k,使不等式knSn>4bn對(duì)于一切的n∈N*恒成立?若存在,請(qǐng)求出k的取值范圍;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
          分析:(Ⅰ)由f(x)=
          4x
          4x+2
          ,能夠求出f(x)+f(1-x)=1.
          (Ⅱ)由an=f(0)+f(
          1
          n
          )+f(
          2
          n
          )+…+f(
          n-1
          n
          )+f(1)(n∈N*),結(jié)合f(x)+f(1-x)=1,利用倒序相加法,能夠求出an=
          n+1
          2

          (Ⅲ)由bn=2n+1•an,bn=(n+1)•2n,知Sn=2•21+3•22+4•23+…+(n+1)•2n,利用錯(cuò)位相減法求出Sn=n•2n+1,要使不等式knSn>4bn對(duì)于一切的n∈N*恒成立,即kn2-2n-2>0對(duì)于一切的n∈N*恒成立.由此能夠求出k的取值范圍.
          解答:解:(Ⅰ)∵數(shù)f(x)=
          4x
          4x+2

          ∴f(x)+f(1-x)
          =
          4x
          4x+2
          +
          41-x
          41-x+2

          =
          4x
          4x+2
          +
          4
          4+2•4x
          =1
          (Ⅱ)∵an=f(0)+f(
          1
          n
          )+f(
          2
          n
          )+…+f(
          n-1
          n
          )+f(1)(n∈N*),①
          an=f(1)+f(
          n-1
          n
          )+f(
          n-2
          n
          )+…+f(
          1
          n
          )+f(0)
          ,②
          由(Ⅰ),知f(x)+f(1-x)=1
          ∴①+②,得2an=(n+1),∴an=
          n+1
          2

          (Ⅲ)∵bn=2n+1•an,∴bn=(n+1)•2n,
          ∴Sn=2•21+3•22+4•23+…+(n+1)•2n,③
          2Sn=2•22+3•23+4•24+…+(n+1)•2n+1,④
          ③-④,得-Sn=4+22+23+…+2n-(n+1)•2n+1
          Sn=n•2n+1,要使不等式knSn>4bn對(duì)于一切的n∈N*恒成立,
          即kn2-2n-2>0對(duì)于一切的n∈N*恒成立.
          ∴k
          2n+2
          n2
          對(duì)一切的n∈N*恒成立,
          令f(n)=
          2n+2
          n2
          =
          2(n+1)
          (n+1)2-2(n+1)+1
          =
          2
          (n+1)+
          1
          n+1
          -2
          ,
          ∵(n+1)+
          1
          n+1
          在n∈N*是單調(diào)遞增的,
          ∴(n+1)+
          1
          n+1
          的最小值為2+
          1
          2
          =
          5
          2
          ,
          ∴f(n)min=
          2
          5
          2
          -2
          =4,
          ∴k>4.
          點(diǎn)評(píng):本題考查數(shù)列通項(xiàng)公式的求法,探索滿足條件的實(shí)數(shù)的取值范圍.解題時(shí)要認(rèn)真審題,仔細(xì)解答,注意倒序相加法、錯(cuò)位相減法的合理運(yùn)用.
          練習(xí)冊(cè)系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          已知函數(shù)f(x)=
          4(a-3)x+a+
          1
          2
          (x<0)
          ax,(x≥0)
          ,若函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(3,
          1
          8
          ),則a=
           
          ;若函數(shù)f(x)滿足對(duì)任意x1≠x2,
          f(x1)-f(x2)
          x1-x2
          <0
          都有成立,那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是
           

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          已知函數(shù)f(x)=
          4-x2
          |x-3|-3
          ,則它是( 。
          A、奇函數(shù)B、偶函數(shù)
          C、既奇又偶函數(shù)D、非奇非偶函數(shù)

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          已知函數(shù)f(x)=
          4-x2(x>0)
          2(x=0)
          1-2x(x<0)
          ,
          (1)求f(a2+1)(a∈R),f(f(3))的值;
          (2)當(dāng)-4≤x<3時(shí),求f(x)取值的集合.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          已知函數(shù)f(x)=
          4•2x+2
          2x+1
          +x•cosx (-1≤x≤1)
          ,且f(x)存在最大值M和最小值N,則M、N一定滿足( 。

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          已知函數(shù)f(x)=
          4-x2(x>0)
          2(x=0)
          1-2x(x<0)
          ,
          (1)畫(huà)出函數(shù)f(x)圖象;
          (2)求f(a2+1)(a∈R),f(f(3))的值;
          (3)當(dāng)-4≤x<3時(shí),求f(x)取值的集合.

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          同步練習(xí)冊(cè)答案