Question

（2012•順義區(qū)一模）如圖：四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，∠ACB=90°，PA⊥平面ABCD，PA=BC=1，AB=

2

，F(xiàn)是BC的中點(diǎn)．
（Ⅰ） 求證：DA⊥平面PAC；
（Ⅱ）試在線段PD上確定一點(diǎn)G，使CG∥平面PAF；
（Ⅲ）求平面PAF與平面PCD所成銳二面角的余弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用平行四邊形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)可得AD⊥AC，再利用線面垂直的性質(zhì)可得PA⊥AC，利用線面垂直的判定定理即可證明；
（Ⅱ）分別以AC，AD，AP為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面PAF法向量

m

，要CG∥平面PAF，可得

m

•

GC

=0，即可求得結(jié)論；
（Ⅲ）確定平面PCD法向量，利用向量的夾角公式，即可求平面PAF與平面PCD所成銳二面角的余弦值．

解答：（Ⅰ） 證明：∵四邊形是平行四邊形，∴∠ACB=∠DAC=90°，
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥DA，
又AC⊥DA，AC∩PA=A，∴DA⊥平面PAC．
（Ⅱ）解：分別以AC，AD，AP為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則A(0，0，0)，C(1，0，0)，B(1，-1，0)，D(0，1，0)，F(xiàn)(1，-

1

2

，0)，P(0，0，1)
設(shè)G為PD上一點(diǎn)，使CG∥平面PAF，
令

PG

=λ

PD

=(0，λ，-λ)，(0≤λ≤

2

)，

GC

=

PC

-

PG

=(1，-λ，-1+λ)
設(shè)平面PAF法向量為

m

=(x，y，z)
∵

AP

=(0，0，1)，

AF

=(1，-

1

2

，0)
∴

z=0 x- y 2 =0

∴可取平面PAF法向量

m

=(1，2，0)，
要CG∥平面PAF，∴

m

•

GC

=0，解得λ=

1

2

．
∴G為PD中點(diǎn)時(shí)，CG∥平面PAF．
（Ⅲ）解：平面PCD法向量為

n

=(x′，y′，z′)
∵

PC

=(1，0，-1)，

PD

=(0，1，-1)
∴

x′-z′=0 y′-z′=0

∴可取平面PCD法向量

n

=(1，1，1)，
∴cos＜

m

，

n

＞=

| m • n |

| m || n |

=

15

5

∴所求二面角的余弦值為

15

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查線面垂直，考查線面平行，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，掌握線面垂直的判定定理，正確運(yùn)用向量知識(shí)是解題的關(guān)鍵．