Question

【題目】設(shè)函數(shù).

(Ⅰ)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

(Ⅱ)若函數(shù)有兩個極值點(diǎn)且，求證．

Answer 1

【答案】當(dāng)時，函數(shù)在遞減，在遞增；當(dāng)時，函數(shù)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減．

(Ⅱ)證明見解析

【解析】試題分析：（1）由函數(shù)的定義域為， ，令，則，由根的判斷式進(jìn)行分類討論，能求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）由，知函數(shù)有兩個極值點(diǎn)時， ，由此推導(dǎo)出，且，即，構(gòu)造函數(shù)，能夠證明.

試題解析：(Ⅰ)定義域為

令，則．

①當(dāng)，即時， ，此時，故函數(shù)在上單調(diào)遞增；

②當(dāng)，即時， 的兩個根為

，

當(dāng)，即時， ，當(dāng)時，

故當(dāng)時，函數(shù)在遞減，在遞增；當(dāng)時，函數(shù)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減．

(Ⅱ)∵,∴當(dāng)函數(shù)有兩個極值點(diǎn)時， ，

故此時，且，即， ,

設(shè)，其中， 則，

由于時， ，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，

故．∴．