Question

【題目】（1）已知，,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；

（2）已知，不等式（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）對任意的實(shí)數(shù)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為.極小值，無極大值.（2）

【解析】

（1）求導(dǎo)得到根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再計(jì)算極值得到答案.

（2）變換得到，設(shè)，等價(jià)于即

，，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到最值得到答案.

（1）函數(shù)的定義域?yàn)?/span>,，由得，，

所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，

所以函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為.

所以當(dāng)時(shí)，取得極小值，無極大值.

（2）由得，，

即，設(shè)，，

則不等式對于任意的實(shí)數(shù)恒成立，等價(jià)于，

由（1）知，函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，

所以，即對任意的實(shí)數(shù)恒成立，

因?yàn)?/span>，所以，

即對任意的實(shí)數(shù)恒成立，即.

令，則，由得，，

所以當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，

當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，

所以當(dāng)時(shí)，取得最小值.

所以，即.

又由已知得，所以，實(shí)數(shù)的取值范圍是.