Question

已知數(shù)列的首項其中，令集合.
（Ⅰ）若，寫出集合中的所有的元素；
（Ⅱ）若，且數(shù)列中恰好存在連續(xù)的7項構(gòu)成等比數(shù)列，求的所有可能取值構(gòu)成的集合；
（Ⅲ）求證：.

Answer 1

（Ⅰ）集合的所有元素為：4,5,6,2,3,1.
（Ⅱ）首項的所有可能取值的集合為{,}.
（Ⅲ）見解析.

試題分析：（Ⅰ）將代入，依次寫出集合的所有元素.
（Ⅱ）不妨設(shè)成等比數(shù)列的這連續(xù)7項的第一項為，關(guān)鍵是理解好“如果是3的倍數(shù)，則；如果是被3除余1，則由遞推關(guān)系可得，所以是3的倍數(shù)，所以；如果被3除余2，則由遞推關(guān)系可得，所以是3的倍數(shù)，所以.”得到結(jié)論：該7項的等比數(shù)列的公比為.
（Ⅲ）分“被3除余1，被3除余2,，被3除余0”加以討論，確定得到的關(guān)系為：，
從而利用
進(jìn)一步得到，所以.數(shù)列中必存在某一項（否則會與上述結(jié)論矛盾�。�
并對,,加以討論，得到,.
此題較難，對考生邏輯思維能力要求較高
試題解析：（Ⅰ）集合的所有元素為：4,5,6,2,3,1..                3分
（Ⅱ）不妨設(shè)成等比數(shù)列的這連續(xù)7項的第一項為，
如果是3的倍數(shù)，則；如果是被3除余1，則由遞推關(guān)系可得，所以是3的倍數(shù)，所以；如果被3除余2，則由遞推關(guān)系可得，所以是3的倍數(shù)，所以.
所以，該7項的等比數(shù)列的公比為.
又因為，所以這7項中前6項一定都是3的倍數(shù)，而第7項一定不是3的倍數(shù)（否則構(gòu)成等比數(shù)列的連續(xù)項數(shù)會多于7項），
設(shè)第7項為，則是被3除余1或余2的正整數(shù)，則可推得
因為，所以或.
由遞推關(guān)系式可知，在該數(shù)列的前項中，滿足小于2014的各項只有：
或,或,
所以首項的所有可能取值的集合為
{,}.                       8分
（Ⅲ）若被3除余1，則由已知可得,；
若被3除余2,則由已知可得,,；
若被3除余0，則由已知可得,；
所以，
所以
所以，對于數(shù)列中的任意一項，“若，則”.
因為，所以.
所以數(shù)列中必存在某一項（否則會與上述結(jié)論矛盾�。�
若,結(jié)論得證.
若,則；若,則,
所以.                      13分