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        1. 【題目】定義:若存在常數(shù),使得對定義域D內(nèi)的任意兩個不同的實數(shù),均有:成立,則稱D上滿足利普希茨(Lipschitz)條件.

          1)試舉出一個滿足利普希茨(Lipschitz)條件的函數(shù)及常數(shù)的值,并加以驗證;

          2)若函數(shù)上滿足利普希茨(Lipschitz)條件,求常數(shù)的最小值;

          3)現(xiàn)有函數(shù),請找出所有的一次函數(shù),使得下列條件同時成立:

          ①函數(shù)滿足利普希茨(Lipschitz)條件;

          ②方程的根也是方程的根,且

          ③方程在區(qū)間上有且僅有一解.

          【答案】(1),見解析;(2)(3)

          【解析】

          1)令可以滿足題意,一次函數(shù)和常值函數(shù)都可以滿足;

          2)根據(jù)定義化簡,得出k的最小值;

          3)由于所有一次函數(shù)均滿足(1)故設(shè)的根,推得,若符合題意,則也符合題意,可以只考慮的情形,分①若,②若,分別驗證是否滿足題意,可得k的范圍.

          1)例如令

          知可取滿足題意(任何一次函數(shù)或常值函數(shù)等均可)。

          2為增函數(shù)對任意

          (當(dāng)時取到)所以

          3)由于所有一次函數(shù)均滿足(1)故設(shè)的根,

          符合題意,則也符合題意,故以下僅考慮的情形。

          設(shè)

          ①若,則由

          所以,在中另有一根,矛盾。

          ②若,則由

          所以,在中另有一根,矛盾。

          以下證明,對任意符合題意。

          當(dāng)時,由圖象在連接兩點的線段的上方知

          當(dāng)時,

          當(dāng)時,

          綜上:有且僅有一個解,滿足題意。

          綜上所述:,

          故得解.

          練習(xí)冊系列答案
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          (1)求證:;

          (2)若平面平面,,求二面角的正弦值.

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          (Ⅰ)求函數(shù)的極值;

          (Ⅱ)若實數(shù)為整數(shù),且對任意的時,都有恒成立,求實數(shù)的最小值.

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          1)若,求此時直線的方程;

          2)若與直線垂直的直線過點,且與拋物線相交于點,設(shè)線段、的中點分別為,如圖,求證:直線過定點;

          3)設(shè)拋物線上的點、在其準線上的射影分別為、,若的面積是的面積的兩倍,如圖,求線段中點的軌跡方程.

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          性別

          是否需要志愿者

          需要

          40

          30

          不需要

          160

          270

          附:的觀測值

          0.05

          0.01

          0.001

          3.841

          6.635

          10.828

          (1)估計該地區(qū)老年人中,需要志愿者提供幫助的老年人的比例;

          (2)在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下是否可認為該地區(qū)的老年人是否需要志愿者提供幫助與性別有關(guān)?

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