Question

【題目】，為空間中兩條互相垂直的直線，等腰直角三角形的直角邊所在直線與，都垂直，斜邊以直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)，有下列結(jié)論：

（1）當(dāng)直線與成角時(shí)，與成角；

（2）當(dāng)直線與成角時(shí)，與成角；

（3）直線與所成角的最小值為；

（4）直線與所成角的最小值為；

其中正確的是______（填寫所有正確結(jié)論的編號(hào)）.

Answer 1

【答案】（1）（3）

【解析】

由題意知，a、b、AC三條直線兩兩相互垂直，構(gòu)建如圖所示的邊長(zhǎng)為1的正方體，|AC|＝1，|AB|，斜邊AB以直線AC為旋轉(zhuǎn)軸，則A點(diǎn)保持不變，B點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是以C為圓心，1為半徑的圓，以C坐標(biāo)原點(diǎn)，以CD為x軸，CB為y軸，CA為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出結(jié)果．

由題意知，a、b、AC三條直線兩兩相互垂直，畫出圖形如圖，

不妨設(shè)圖中所示正方體邊長(zhǎng)為1，

故|AC|＝1，|AB|，

斜邊AB以直線AC為旋轉(zhuǎn)軸，則A點(diǎn)保持不變，

B點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是以C為圓心，1為半徑的圓，

以C坐標(biāo)原點(diǎn)，以CD為x軸，CB為y軸，CA為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

則D（1，0，0），A（0，0，1），直線a的方向單位向量（0，1，0），||＝1，

直線b的方向單位向量（1，0，0），||＝1，

設(shè)B點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的坐標(biāo)中的坐標(biāo)B′（cosθ，sinθ，0），

其中θ為B′C與CD的夾角，θ∈[0，2π），

∴AB′在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的向量為（cosθ，sinθ，﹣1），||，

設(shè)與所成夾角為α∈[0，]，

則cosα|sinθ|∈[0，]，

∴α∈[，]，∴（3）正確，（4）錯(cuò)誤．

設(shè)與所成夾角為β∈[0，]，

cosβ|cosθ|，

當(dāng)與夾角為60°時(shí)，即α，

|sinθ|，

∵cos2θ+sin2θ＝1，∴cosβ|cosθ|，

∵β∈[0，]，∴β，此時(shí)與的夾角為60°，

∴（1）正確，（2）錯(cuò)誤．

故答案為：（1）（3）．