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          已知A、B、C是長軸長為4的橢圓上的三點(diǎn)，點(diǎn)A是長軸的一個(gè)頂點(diǎn)，BC過橢圓中心O，如圖，且
          AC
          •
          BC
          =0          ，|BC|=2|AC|．
          （1）求橢圓的方程；
          （2）如果橢圓上兩點(diǎn)P、Q使∠PCQ的平分線垂直AO，則總存在實(shí)數(shù)λ，使
          PQ
          =λ
          AB
          ，請(qǐng)給出證明．
          			
          


			
          

		
          
		
		
	
          
		
          
			
          
				
          
				
          （1）以O(shè)為原點(diǎn)，OA所在的直線為x軸建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，
          則A（2，0），設(shè)所求橢圓的方程為：x2+
          y2
          b2
          =4（0＜b＜1），由橢圓的對(duì)稱性知|OC|=|OB|，
          由
          AC
          •
          BC
          =0得AC⊥BC，
          ∵|BC|=2|AC|，
          ∴|OC|=|AC|，
          ∴△AOC是等腰直角三角形，
          ∴C的坐標(biāo)為（1，1），
          ∵C點(diǎn)在橢圓上
          ∴1+
          1
          b2
          =4，
          ∴b2=
          1
          3
          ，所求的橢圓方程為x2+3y2=4．
          （Ⅱ）由于∠PCQ的平分線垂直O(jiān)A（即垂直于x軸），
          不妨設(shè)直線PC的斜率為k，則直線QC的斜率為-k，
          直線PC的方程為：y=k（x-1）+1，直線QC的方程為y=-k（x-1）+1，
          由
          y=k(x-1)+1
          x2+3y2-4=0
          得：（1+3k2）x2-6k（k-1）x+3k2-6k-1=0（*）
          ∵點(diǎn)C（1，1）在橢圓上，
          ∴x=1是方程（*）的一個(gè)根，則其另一根為
          3k2-6k-1
          1+3k2
          ，設(shè)P（xP，yP），?Q（xQ，yQ），xP=
          3k2-6k-1
          1+3k2
          ，同理xQ=
          3k2+6k-1
          1+3k2
          ，
          kPQ=
          yp-yQ
          xP-xQ
          =
          k(xP+xQ)-2k
          xP-xQ
          =
          k(
          3k2-6k-1
          1+3k2
          +
          3k2+6k-1
          1+3k2
          )-2k
          3k2-6k-1
          1+3k2
          -
          3k2+6k-1
          1+3k2
          =
          1
          3

          而由對(duì)稱性知B（-1，-1），又A（2，0），
          ∴kAB=
          1
          3
          ，
          ∴kPQ=kAB，
          ∴
          AB
          與
          PQ
          共線，且
          AB
          ≠0，即存在實(shí)數(shù)λ，使
          PQ
          =λ
          AB
          ．
          				
          
							
          
			
          
			
          
			
			
          
		
          
	
          

		
          

		





			
          
		
          
		
				
          
				練習(xí)冊(cè)系列答案
		
          
		
				
			

					
          
				相關(guān)習(xí)題
			
          
						
		
          
			
          
				科目：高中數(shù)學(xué)
				來源：不詳
				題型：填空題
			
          

						
          與圓外切，且與y軸相切的動(dòng)圓圓心的軌跡方程為         .
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來源：不詳
				題型：填空題
			
          

						
          如圖,橢圓中心在坐標(biāo)原點(diǎn),F為左焦點(diǎn),當(dāng)時(shí),其離心率為,此類橢圓被稱為“黃金橢圓”.類比“黃金橢圓”,可推算出”黃金雙曲線”的離心率e等于  ▲     
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來源：不詳
				題型：解答題
			
          

						
          點(diǎn)P到x軸的距離比它到點(diǎn)（0，1）的距離小1，稱點(diǎn)P的軌跡為曲線C，點(diǎn)M為直線l：y=-m（m＞0）上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)M作曲線C的兩條切線MA，MB，切點(diǎn)分別為A，B．
          （1）求曲線C的軌跡方程；
          （2）當(dāng)M的坐標(biāo)為（0，-l）時(shí)，求過M，A，B三點(diǎn)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，并判斷直線l與此圓的位置關(guān)系；
          （3）當(dāng)m變化時(shí)，試探究直線l上是否存在點(diǎn)M，使MA⊥MB？若存在，有幾個(gè)這樣的點(diǎn)，若不存在，請(qǐng)說明理由．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來源：不詳
				題型：解答題
			
          

						
          已知拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)F在x軸正半軸上，傾斜角為銳角的直線l過F點(diǎn)，設(shè)直線l與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，與拋物線的準(zhǔn)線交于M點(diǎn)，
          MF
          =λ
          FB
          （λ＞0）
          （1）若λ=1，求直線l斜率
          （2）若點(diǎn)A、B在x軸上的射影分別為A1，B1且|
          B1F
          |，|
          OF
          |，2|
          A1F
          |成等差數(shù)列求λ的值
          （3）設(shè)已知拋物線為C1：y2=x，將其繞頂點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°變成C1′．圓C2：x2+（y-4）2=1的圓心為點(diǎn)N．已知點(diǎn)P是拋物線C1′上一點(diǎn)（異于原點(diǎn)），過點(diǎn)P作圓C2的兩條切線，交拋物線C′1于T，S，兩點(diǎn)，若過N，P兩點(diǎn)的直線l垂直于TS，求直線l的方程．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來源：不詳
				題型：解答題
			
          

						
          已知拋物線C的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸，且準(zhǔn)線方程為x=-1．
          （1）求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
          （2）過拋物線C焦點(diǎn)的直線l交拋物線于A，B兩點(diǎn)，如果要同時(shí)滿足：①|(zhì)AB|≤8；②直線l與橢圓3x2+2y2=2有公共點(diǎn)，試確定直線l傾斜角的取值范圍．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來源：不詳
				題型：單選題
			
          

						
          直線y=x+2與雙曲線
          x2
          m
          -
          y2
          3
          =1有兩個(gè)公共點(diǎn)，則m的          取值范圍是（　　）
          A．m＞-1且m≠3B．0＜m＜7且m≠3C．m＞7D．m＜0
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來源：不詳
				題型：解答題
			
          

						
          如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓E：
          x2
          a2
          +
          y2
          b2
          =1(a＞b＞0)          的焦距為2，且過點(diǎn)(
          		2
          ，
          		6
          2
          )          ．
          （1）求橢圓E的方程；
          （2）若點(diǎn)A，B分別是橢圓E的左、右頂點(diǎn)，直線l經(jīng)過點(diǎn)B且垂直于x軸，點(diǎn)P是橢圓上異于A，B的任意一點(diǎn)，直線AP交l于點(diǎn)M．
          （�。┰O(shè)直線OM的斜率為k1，直線BP的斜率為k2，求證：k1k2為定值；
          （ⅱ）設(shè)過點(diǎn)M垂直于PB的直線為m．求證：直線m過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo)．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來源：不詳
				題型：解答題
			
          

						
          已知橢圓C與雙曲線
          x2
          2
          -
          y2
          6
          =1          有相同焦點(diǎn)F1和F2，過F1的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，△ABF2的周長為8
          		3
          ．若直線y=t（t＞0）與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)E、F，以線段EF為直徑作圓M．
          （1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
          （2）若圓M與x軸相切，求圓M被直線x-
          		3
          y+1=0          截得的線段長．
          

			
          

			
          
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