Question

已知對任意實數(shù)x，二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c恒非負，且a＜b，則M=

a+b+c

b-a

的最小值是

 

．

Answer 1

分析：從二次函數(shù)的二次項系數(shù)及判別式限制，得到a，b，c滿足的不等關系；將M中的c利用得到的不等關系去掉；將代數(shù)式變形；利用基本不等式求出最小值，注意檢驗等號何時取到．

解答：解：∵二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c恒非負
所以a＞0 且 b²-4ac≤0
所以 4ac≥b²
所以 c≥

b2

4a

∴M=

a+b+c

b-a

≥

a+b+ b2 4a

b-a

=

(2a+b)2

4a(b-a)

=

[3a+(b-a)]2

4a(b-a)

 ≥

4(b-a)×3a

4a(b-a)

=3
當且僅當3a=b-a且c=

b2

4a

即c=b=4a時，取等號
故答案為3

點評：本題考查二次函數(shù)的函數(shù)值的情況取決于二次項系數(shù)的符號及判別式的符號、考查不等式的性質(zhì)、考查利用基本不等式求函數(shù)的最值，關鍵是湊出能與分母有聯(lián)系的形式，要注意使用時滿足的條件：一正、二定、三相等．