Question

已知對任意實數(shù)x，二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c恒非負(fù)，且a＜b，則

a+b+c

b-a

的最小值是

3

．

Answer 1

分析：由題意可得 b＞a＞0，再由△≤0得到c≥

b2

4a

，故 

a+b+c

b-a

≥

a+b+ b2 4a

b-a

=

[3a+(b-a)]2

4a(b-a)

≥

(2 3a(b-a) )2

4a(b-a)

=3，從而求得

a+b+c

b-a

的最小值．

解答：解：∵二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c恒非負(fù)，故 b＞a＞0．
再由△≤0得到c≥

b2

4a

．
則

a+b+c

b-a

≥

a+b+ b2 4a

b-a

=

4a2+b2+4ab

4a(b-a)

=

[3a+(b-a)]2

4a(b-a)

≥

(2 3a(b-a) )2

4a(b-a)

=

12a(b-a)

4a(b-a)

=3，
故當(dāng)3a=b-a，且 c=

b2

4a

時，

a+b+c

b-a

取得最小值是3，
即 b=c=4a時，

a+b+c

b-a

的最小值是3，
故答案為 3．

點評：本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，基本不等式的應(yīng)用，式子的變形是解題的關(guān)鍵和難點，屬于中檔題．