Question

證明以下命題：
（1）對任一正整數(shù)，都存在正整數(shù)，使得成等差數(shù)列；
（2）存在無窮多個(gè)互不相似的三角形,其邊長為正整數(shù)且成等差數(shù)列.

Answer 1

存在無窮多個(gè)互不相似的三角形,其邊長為正整數(shù)且成等差數(shù)列

證明：（1）易知成等差數(shù)列，故也成等差數(shù)列，
所以對任一正整數(shù)，都存在正整數(shù)，使得成等差數(shù)列．
（2）若成等差數(shù)列，則有，
即                                        …… ①
選取關(guān)于的一個(gè)多項(xiàng)式，例如，使得它可按兩種方式分解因式，由于

因此令，可得    …… ②
易驗(yàn)證滿足①，因此成等差數(shù)列，
當(dāng)時(shí)，有且
因此為邊可以構(gòu)成三角形．
其次，任取正整數(shù)，假若三角形與相似，則有：
，據(jù)比例性質(zhì)有：

所以，由此可得，與假設(shè)矛盾，
即任兩個(gè)三角形與互不相似，
所以存在無窮多個(gè)互不相似的三角形,其邊長為正整數(shù)且成等差數(shù)列．