Question

（本小題滿分12分）如圖所示，為半圓，AB為半圓直徑，O為半圓圓心，且OD⊥AB，Q為線段OD的中點(diǎn)，已知|AB|=4，曲線C過Q點(diǎn)，動點(diǎn)P在曲線C上運(yùn)動且保持|PA|＋|PB|的值不變．

（Ⅰ）建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，求曲線C的方程；
（Ⅱ）過D點(diǎn)的直線l與曲線C相交于不同的兩點(diǎn)M、N，問是否存在這樣的直線使 與平行，若平行,求出直線的方程, 若不平行,請說明理由.

Answer 1

，x=0

解：（Ⅰ）以AB、OD所在直線分別為x軸、y軸，O為原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系．………………1分
 
,以A、B為焦點(diǎn)的橢圓,   …… 3分
設(shè)長半軸長為a,短半軸長b,半焦距為c
 所以所求橢圓C的方程為             ……………………… 5分
（Ⅱ），即方程為x=0是，，所以與平行，符合……… 6分
當(dāng)K存在時，設(shè)直線l方程為y=kx+2
    消去，整理得(5k²+1)x²+20kx+15="0,   " ……………………………… 7分
設(shè)
 得：         ………………………… 8分
,               ………………………… 9分
  =(2,1)
與平行

                       ………………………………………………………………… 11分
與矛盾，舍去
       該直線方程為x="0                              " ………………………………………… 12分