Question

如圖，四棱錐的底面是平行四邊形，，，面，設(shè)為中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上且．
（1）求證：平面；
（2）設(shè)二面角的大小為，若，求的長．

Answer 1

（1）證明詳見解析；（2）2 .

試題分析：（1）由已知條件用余弦定理和勾股定理推導(dǎo)出AB⊥AC．又PA⊥面ABCD，以AB，AC，AP分別為x，y，z軸建立坐標(biāo)系．利用向量法能求出BE∥平面ACF．
（2）分別求出面PCD法向量和面ACF的法向量，由，利用向量法能求出PA的長．
（1）由，得，．
又面，所以以分別為軸建立坐標(biāo)系如圖．
則   2分
設(shè)，則 ．
設(shè)，得：．
解得：，，，
所以．                                4分
所以,，．
設(shè)面的法向量為，則，取．
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824051655180661.png" style="vertical-align:middle;" />，且面，所以平面．   6分
（2）設(shè)面法向量為，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824051655305708.png" style="vertical-align:middle;" />，，
所以，取 ．             9分
由，得．
，得，∴，所以．      12分