Question

（2012•廣東）已知函數(shù)f(x)=2cos(ωx+

π

6

)（其中ω＞0，x∈R）的最小正周期為10π．
（1）求ω的值；
（2）設(shè)α，β∈[0，

π

2

]，f(5α+

5

3

π)=-

6

5

，f(5β-

5

6

π)=

16

17

，求cos（α+β）的值．

Answer 1

分析：（1）由題意，由于已經(jīng)知道函數(shù)的周期，可直接利用公式ω=

2π

10π

=

1

5

解出參數(shù)ω的值；
（2）由題設(shè)條件，可先對(duì)f(5α+

5

3

π)=-

6

5

，與f(5β-

5

6

π)=

16

17

進(jìn)行化簡，求出α與β兩角的函數(shù)值，再由作弦的和角公式求出cos（α+β）的值．

解答：解：（1）由題意，函數(shù)f(x)=2cos(ωx+

π

6

)（其中ω＞0，x∈R）的最小正周期為10π
所以ω=

2π

10π

=

1

5

，即ω=

1

5

所以f(x)=2cos(

1

5

x+

π

6

)
（2）因?yàn)?span id="ltgawwb" class="MathJye">α，β∈[0，

π

2

]，f(5α+

5

3

π)=-

6

5

，f(5β-

5

6

π)=

16

17

分別代入得2cos(α+

π

2

)=-

6

5

⇒sinα=

3

5

及2cosβ=

16

17

⇒cosβ=

8

17

∵α，β∈[0，

π

2

]
∴cosα=

4

5

，sinβ=

15

17

∴cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=

4

5

×

8

17

-

3

5

×

15

17

=-

13

85

點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角函數(shù)的周期公式及兩角和與差的余弦函數(shù)，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，屬于三角函數(shù)中有一定綜合性的題，屬于成熟題型，計(jì)算題．